Индуктивно связанные катушки, передача энергии и т.д.

[VladPhis]

Доброго времени суток.
Нам не так давно начитали основы электротехники, в связи с этим хотелось бы прояснить для себя до конца некоторые моменты.
Заранее приношу свои извинения за глупые вопросы и непонимание материала.
Вопросов несколько, но я буду задавать их последовательно, т.к. скорее всего многие отпадут в процессе разъяснений.

Условие: у нас есть две катушки, первая - идеальный полный тор, вторая - несколько витков намотанные на этот тор с гораздо большим диаметром, чем намотка первой катушки. Таким образом получается, что поток создаваемый полным тором полностью охватывается витками второй катушки, но поток от второй катушки охватывается частично и только частью витков первой катушки. Приблизительно так, извините за корявость рисунка:



Вопрос: Я правильно понимаю, что вся энергия магнитного поля созданная первой катушкой может быть передана во вторую, но энергия магнитного поля созданная второй катушкой может быть передана в первую только частично? Как определить какая часть энергии может быть передана от второй в первую?

[VladPhis]

Дополню.
Тор не содержит ферромагнетиков и мы знаем все что необходимо: величины индуктивностей L1 и L2, взаимную индуктивность М, геометрию (если надо), количество витков (опять же, если надо) и т.д.

[Cos(x-pi/2)]

Имхо, Вы неясно ставите задачу. Что значит "энергия магнитного поля передаётся"?

Если питать одну из катушек постоянным током, то это вообще никак не скажется на второй катушке. Если же питать одну из катушек переменным током, то в другой катушке возникнет э.д.с., обусловленная скоростью изменения магнитного потока через неё. Т.е. частота переменного тока важна (даже при том, что ЭМ-излучением на низких частотах обычно пренебрегают).

Какой же будет передача энергии от источника питания первичной цепи во вторичную цепь - это зависит и от частоты, и от вида этих цепей, от их сопротивления. Например, если вторичная цепь разомкнута ("режим холостого хода"), то передачи энергии нет; потребляемая от источника мощность вообще равна нулю, если пренебречь активным сопротивлением первичной цепи. Так же будет и при наличии только чисто реактивных элементов (ёмкостей и ещё каких-нибудь индуктивностей) в цепях.

При наличии же активных сопротивлений на них будет рассеиваться (выделяться в виде тепла) потребляемая от источника мощность. Но какова она - это надо вычислять через параметры нагрузки и питающей цепи, через величины индуктивностей L1 и L2, взаимную индуктивность М, и частоту. Надо знать полную схему цепей. А просто так говорить о какой-то "передаче энергии магнитного поля из катушки в катушку" бесполезно.

[VladPhis]

Я предполагал, что такие вопросы будут.
Хотя я думаю, что на долю передачи энергии это не должно влиять, но это не суть и я опишу процесс более подробно. )) Извините, что сразу не сделал этого.

Пусть процесс такой: мы накачиваем L1 (полный тор) при разомкнутой L2, когда ток в L1 достигает определенной величины мы замыкаем L2 и размыкаем L1 (сопротивление разомкнутого контакта - сотни мегом). Потом наоборот сначала накачиваем L2 при разомкнутой L1, при определенном токе L2 отключаем, а L1 замыкаем.

вопрос: предположим от L1 к L2 перешло 99% энергии в первой части эксперимента, означает ли это, что от L2 к L1 тоже должно перейти 99% энергии во второй части эксперимента? Другими словами обратим ли трансформатор с энергетической точки зрения, если степень индуктивной связей от L1 к L2 не равна степени индуктивной связи от L2 к L1? (Сразу оговорюсь, степени индуктивной связи и коэффициент связи есть разные вещи)

Всеми излучениями пренебрегаем.
Активные сопротивления обеих катушек известны (хотя это неважно, т.к. речь о токах и LI^2/2 сразу после переключения и как потом будет эта энергия сгорать на активных резисторах в рамках нашей задачи не рассматривается)
Размыкание/замыкание происходит мгновенно и абсолютно синхронно.
Сопротивление контактора в разомкнутом состоянии тоже известно (хотя можно просто оговорить, что вся не переданная энергия сгорит на сопротивлении контактора в разомкнутом состоянии)
Волновыми процессами пренебрегаем.
Паразитными емкостями пренебрегаем.

[VladPhis]

Дополню: речь не о передаче энергии из источника в катушку посредством другой катушки и далее в какую-то нагрузку, а именно о передачи запасенной энергии магнитного поля одной катушки в магнитное поле другой катушки т.е. о (L1*I^2)/2 и (L2*I^2)/2 сразу после срабатывания переключателей, т.е. мы не рассматриваем, как изначально энергия (ток) появляется в катушке из которой энергия забирается.

И самое главное: вопрос не о конкретных величинах энергии, а о теоритически возможной максимальной доле (проценте) запасенной энергии в магнитном поле которую можно передать от L1 к L2 и от L2 к L1, т.е. равны ли эти доли, если степени индуктивной связи не равны.

[rustot]

а что такое "степень индуктивной связи" которая асимметрична и имеет 2 разных значения? как она вычисляется или измеряется?

в каком то сферичновакуумном случае существования только двух катушек и неизлучающего магнитопровода, ВСЯ энергия достанется катушке даже если у нее крайне слабая связь с магнитопроводом, потому-что больше просто некуда, варьироваться будет только время. в реальности чем меньше связь тем большая доля достанется посторонним проводящим предметам в пределах досягаемости (в том числе и небесконечного сопротивления магнитопроводу)

[VladPhis]

Физический смысл степени индуктивной связи означает долю магнитного потока одной катушки, проходящего через витки другой, когда в ней отсутствует ток. И то, что эти показатели несимметричны очевидно из примера который я привел. Скорее всего просто возникает путаница, т.к. все привыкли к коэффициенту связи (который равен произведению степеней индуктивной связи) и взаимной индукции. Да, действительно, эти параметры симметричны в оба направления течения энергии, но не степени индуктивной связи.

Магнитопровод отсутствует, катушки воздушные.

А энергия которая не перейдет в соседнюю катушку перейдёт в тепло на сопротивлении разомкнутого контакта или в тепло возникающей искры, да, это сопротивление очень велико, но и напряжение самоиндукции тоже.

Повторюсь, вопрос не в том кому достанется энергия, которая не может перейти в соседнюю катушку в случае слабой связи, при разрыве накачивающей цепи (пусть это искра, тепло на сопротивлении разомкнутого контакта, излучение от искры, испарение металла на контакторе, телепортация в вакуум ))) и т.д. и т.п.), а в том будет ли процент перекачки энергии из одной катушки в другую симметричен, когда степени индуктивной связи не равны между собой.

Позволю себе ещё раз сформулировать задачу.
Условие:
Известны индуктивности L1 и L2, известна степень индуктивной связи k12 (т.е. L1 с L2) и степень индуктивной связи k21 (т.е. L2 с L1) , т.е. известно сколько процентов потока, созданного первой катушкой охватывает, вторая катушка и наоборот. При этом степень индуктивной связи от первой ко второй НЕ равна степени индуктивной связи от второй к первой k12 <> k21, просьба не путать с взаимной индуктивностью и коэффициентом связи, который равен произведению степеней индуктивных связей (k=k12*k21)

Эксперимент:
Часть 1: Накачиваем первую катушку до определенного значения тока I1 при разомкнутой второй катушке, при этом в первой катушке накапливается энергия равная Q1=(L1*I1^2)/2, далее отсоединяем первую катушку от источника напряжения и одновременно замыкаем вторую катушку накоротко. У нас происходит переброс энергии во вторую катушку Q2=(L2*I2^2)/2 и часть энергии, которая не может перейти во вторую катушку, сгорает на сопротивлении разомкнутого контакта.
Часть 2: Повторяем эксперимент с другой стороны, т.е. сначала накачиваем вторую катушку, а потом отсоединяем её с одновременным замыканием первой.

Вопросы:
1) Будет ли отношение Q2/Q1 в первой части эксперимента равно отношению Q1/Q2 во второй части эксперимента, при условии, что k12 <> k21
2) Если отношения не равны, то как определить какую долю (именно долю, а не значение) энергии можно максимально перебросить в первом и во втором случае?

p.s. прошу прощения за сумбурность изложения и возможное непонимание материала

[Cos(x-pi/2)]

VladPhis
Можно показать из уравнений ЭМ-поля, что отсутствие симметрии в конструкции двух катушек полностью учитывается одним коэффициентом взаимной индукции

$L_{12}=L_{21}=M$

и двумя коэффициентами самоиндукции (т.е. индуктивностями катушек)

$L_{11}=L_1$
$L_{22}=L_2$

потому что этих величин достаточно для определения токов в первичной и вторичной цепи при известных параметрах и условиях питания этих цепей. Никаких "степеней индуктивной связи" здесь выдумывать не надо. При любой конструкции катушек уравнения для токов содержат имено указанные коэффициенты индукции, а не "степени связи".

Конкретно для интересующей Вас задачи ответ получается следующий (само решение задачи не сложное, но для краткости его не выписываю в этом посте).

Пусть в первую катушку поступает постоянный ток $I_0.$ Тогда

$Q_1=L_1I_0^2/2$

есть энергия магнитного поля, созданного постоянным током $I_0$ в первичной цепи к начальному моменту времени $t=0$. Ещё до этого момента вторую катушку уже можно замкнуть, потому что при постоянном токе в первой катушке замыкание или размыкание второй катушки ничего не меняет. Пусть в момент $t=0$ источник тока отключается и заменяется сопротивлением $R$, замыкающим клеммы первой катушки. С этого момента ток в первой катушке начинает убывать со временем по экспоненциальному закону:

$I_1(t)=I_0e^{-t/\tau}$ ,

с постоянной времени "тау", равной

$\tau = \frac{(L_1-M^2/L_2)}{R}$ .

(Чтобы рассмотреть желаемый вами случай "быстрого размыкания" первичной цепи, достаточно будет в ответе перейти к пределу $R \to \infty.$ Но ниже мы увидим, что ответ не зависит от $R$, т.е. здесь не важно быстро или медленно станет затухать ток первичной цепи.)

Одновременно ток в замкнутой второй катушке увеличивается со временем (от нулевого значения при $t=0$):

$I_2(t)=\frac{M}{L_2}I_0(1-e^{-t/\tau})$ .

Из этой формулы видно, что в пределе $t \to \infty$ (т.е., говоря физическим языком, через время $t$ много большее, чем $\tau$), когда ток в первой катушке уже затухнет, ток во второй катушке станет постоянным и равным величине

$I_2=\frac{M}{L_2}I_0$ .

Следовательно, энергия магнитного поля в конечном состоянии равна

$Q_2=L_2I_2^2/2=\frac{M^2}{L_2}I_0^2/2$ .

Искомое вами отношение двух энергий не зависит от $R$ и составляет

$\frac{Q_2}{Q_1}=\frac{M^2}{L_1L_2}$ .

Это выражение симметрично относительно перестановки номеров 1 и 2; такой же результат получается и при аналогичной "перекачке" энергии из второй катушки в первую. Это интересовавший Вас ответ.

Легко проследить также выполнение закона сохранения энергии. Мы видим, что в указанном процессе перекачки энергии из первой катушки во вторую начальная энергия магнитного поля уменьшилась на величину

$Q_1-Q_2 = \frac{I_0^2}{2} (L_1- \frac{M^2}{L_2})$ .

Куда ушла эта разность энергий? Оказывается, именно этой величине равен интеграл по времени от мощности джоулева тепла $P(t)=I_1^2(t)R,$ выделявшегося в сопротивлении $R$ при затухании тока первой катушки. Т.е. энергия магнитного поля изменилась на величину, как раз равную выделившемуся теплу в сопротивлении.

[VladPhis]

Спасибо за ответ.
Завтра спокойно почитаю выкладки, сегодня уже сплю почти )))
Степени индуктивной связи я не выдумывал, это такой же термин как и взаимоиндукция и коэффициент связи, опять же завтра скину ссылку.
А то что энергия уходит в тепло сопротивления разрыва я упомянул сразу )))
Спасибо еще раз.

[Cos(x-pi/2)]

Тоже дополню :-) Указанные выше выражения для токов $I_1(t)$ и $I_2(t)$ верны при $t \ge 0$ и найдены как решение системы двух дифф. уравнений:

$L_1 \frac{dI_1}{dt} + M \frac{dI_2}{dt}=-I_1R$ ,

$L_2 \frac{dI_2}{dt} + M \frac{dI_1}{dt}=0$ ,

с начальными условиями: $I_1(0)=I_0$ и $I_2(t)=0$.

[VladPhis]

Верите или нет, я делал похожие выкладки что у вас (но это не столь важно). Ещё раз спасибо, что потратили на мой вопрос время, без сарказма.

Но я не могу понять именно физические процессы которые приводят к этому, т.е. нигде не удалось найти объяснения почему именно так, а не иначе.
Все сухой математикой объясняют, без раскрытия того, что для 100% передачи энергии недостаточно только охватывать 100% поток порождённый "катушкой-передатчиком" "катушкой - приёмником", а необходимо чтобы еще поток от "катушки-приёмника" 100% охватывался "катушкой передатчиком", хотя казалось бы "какого чёрта" )))

Т.е. складывается впечатление что потоковая концепция и его охват проводником какая-то притянутая за уши или не полностью раскрывается при подаче материала (даже в лекциях Фейнмана... или просто я очень туп))).

Есть мысль, что 100% охват потока "катушкой передатчиком" от "катушки-приёмника" необходим для "уничтожения" энергии в "катушке-передатчике", как думаете?

Вы уж извините, что мучаю вас, но не могли бы вы объяснить это с точки зрения физических процессов, а не просто математикой. Т.е. раскрыть физическую суть, которая описана этими формулами.

По поводу степени индуктивной связи... как ни странно, но именно только этот параметр может быть измерен прямым экспериментом (т.е. например датчиком Холла, который так или иначе базируется на механическом/силовом воздействии магнитной индукции на движущийся заряд). Т.е. мы можем в разных точках сечения катушек измерить магнитную индукцию и сказать сколько потока охватывается.
Вот ссылка:http://edu.dvgups.ru/METDOC/GDTRAN/DEPEN/ELMASH/ELEKTROT/METOD/SB_LAB/frame/7.htm

Позднее я на примере задам вопрос про взаимную индуктивность, сейчас надо бежать, еще раз спасибо.
p.s. Спасибо, что подтвердили, что соотношение двух энергий не зависит от R и от скорости размыкания, на другом форуме я замучился доказывать это ))