Эйлеровы интегралы

[Nurzery[Rhymes]]

Задание из Демидовича: надо вычислить интеграл с помощью эйлеровых интегралов

$\int\limits_{0}^{+ \infty}\frac{dx}{1+x^3}$

Я хочу сделать из этого интеграла какой-либо эйлеров интеграл. Замена: $z=x^3 \Rightarrow x=z^{\frac{1}{3}}$

$dx=\frac{1}{3}z^{-\frac{2}{3}}dz$

Подставляю:

$\int\limits_{0}^{+ \infty}(1+z)^{-1} \frac{1}{3}z^{-\frac{2}{3}}dz = \frac{1}{3}\int\limits_{0}^{+ \infty}(1+z)^{-1} z^{-\frac{2}{3}}dz$

Получили почти бета-функцию Эйлера, но она выглядит так: $\int\limits_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$, а у меня верхний предел бесконечен, а должен быть равен единице, и в скобке знак плюс, а не минус. Что с этим делать? Как изменить предел, я не знаю, и в скобке изменить плюс на минус простым вынесением его за знак интеграла и изменив порядок слагаемых в скобке не получится.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949024 писал(а):

. Что с этим делать?

Придумать другую замену, которая будет менять пределы интегрирования - сейчас или исходно.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #949030 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949024 писал(а):

. Что с этим делать?

Придумать другую замену, которая будет менять пределы интегрирования - сейчас или исходно.

Не могу придумать, как это сделать, у меня нет аналогичных решенных примеров. Есть похожий, но там как будто игнорируется плюс в скобке и бесконечный верхний предел. Я не знаю, почему это происходит.

[provincialka]

Главное - надо как-то побороть бесконечность. Какая функция переводит ее в конечное число?

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #949049 писал(а):

Главное - надо как-то побороть бесконечность. Какая функция переводит ее в конечное число?

$y=\frac{1}{x}$, например.

[provincialka]

Хорошо! Плохо только, что при такой замене 0 перейдет в бесконечность. Надо ее немного "пошевелить", чтобы деления на 0 не было.

Кстати, что-то похожее есть в вашем интеграле.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #949053 писал(а):

Хорошо! Плохо только, что при такой замене 0 перейдет в бесконечность. Надо ее немного "пошевелить", чтобы деления на 0 не было.

Кстати, что-то похожее есть в вашем интеграле.

Тогда пусть будет $y=\frac{x}{x+1}$. Что мне с этим делать? Если дифференцировать, как это всегда делают при замене, то получится очень плохое выражение.

[provincialka]

Нет, не так. Зачем вам $x$ в числителе? Ведь мы уже сделали, что $+\infty$ переходит в 0. Значит, 0 должен перейти в 1.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #949074 писал(а):

Нет, не так. Зачем вам $x$ в числителе? Ведь мы уже сделали, что $+\infty$ переходит в 0. Значит, 0 должен перейти в 1.

Тогда замена должна быть $y=\frac{1}{1+x}$? При такой замене 0 как раз переходит в 1.

[provincialka]

Почти хорошо! Только не связано с нашим интегралом. Еще чуть-чуть подправьте!

[Nurzery[Rhymes]]

Неужели надо сделать замену прямо $y=\frac{1}{1+x^3}$?

[provincialka]

А вы попробуйте! То ли еще будет! (ой-ой-ой!)

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #949099 писал(а):

А вы попробуйте! То ли еще будет! (ой-ой-ой!)

Какая-то очень неприятная замена. Оттуда надо выражать $x$ через $z$, чтобы найти дифференциал $dx$ и свести данный интеграл с эйлерову?

[provincialka]

Нет, не надо. В таких заменах есть хитрый прием: не делать окончательной замены до последней возможности. То есть до поры до времени писать обе переменные. Дифференцируйте (в смысле "берите дифференциал") самое простое соотношение. Например, $1 + x^3=y^{-1}$. Возьмите дифференциал от левой и правой части.

[Nurzery[Rhymes]]

Получилось $3x^2 dx = \ln y dy$. А с этим выражением что делать? Если я попытаюсь выделить какой-нибудь дифференциал, то при подстановке будет интеграл от двух переменных.