Тензор Римана

[loshka]

Здравствуйте, уже несколько часов не могу решить простую задачу измучился гулять в трех соснах, а идей, что делать нет

надо посчитать тензор Риччи для тора и гауссову кривизну
Извините, что не могу выложить полные вычисление на это уйдет 2 часа набираю формулы очень медленно
беру параметризацию $f(a+bcosu)cosv,(a+bcosu)sinv,(bsinu)$
$E=b^2$
$F=0$
$G=(a+bcosu)^2$
Посчитал символы Кристоффеля второго рода
Все равны нулю кроме
$\Gamma^1_{22}=(a+bcosu)sinu$
$\Gamma^2_{12}=-bsinu/(a+bcosu)$
Считают тензор Римана
$R^1_{212}= acosu+bcos^2u$
Далее считают тензор Риччи, я так понимаю его компоненты должны равняться нулю или компоненте тензора Римана
$R_{11}=R_{22}=R^1_{212}$
и теперь считаю скалярную кривизну
$g^{ql}R_{ql}=g^{11}R_{11}+g^{22}R_{22}= (acosu+bcos^2u)/b^2+(acosu+bcos^2u)/(a+bcosu)^2$
Никак не совпадает с ответом $cosu/(b(a+bcosu))$
Раз 7 все пересчитал, никак не совпадает, подскажите мою ошибку

[Brukvalub]

(Оффтоп)

loshka в сообщении #948426 писал(а):

...
Извините, что не могу выложить полные вычисление на это уйдет 2 часа ..

И неважно, что проверять вычисления занимает гораздо меньше времени, чем вычислять самому, ведь это время уйдет у помогающего, а его не жалко! Вполне рациональный подход!

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #948447 писал(а):

И неважно, что проверять вычисления занимает гораздо меньше времени, чем вычислять самому, ведь это время уйдет у помогающего, а его не жалко! Вполне рациональный подход!

Ну это когда как. Иной раз вычислить самому—10 минут, а проверять—10 часов!

loshka в сообщении #948426 писал(а):

набираю формулы очень медленно

Да ещё и не как положено (следует \sin x и т.д.)

[мат-ламер]

loshka в сообщении #948426 писал(а):

беру параметризацию $f(a+bcosu)cosv,(a+bcosu)sinv,(bsinu)$

Ничего не понял в вашей параметризации. Хотя-бы, что такое $f$? И сколько всего параметров - 2 ? $a$ и $b$ тоже параметры или фиксированы? Считал я как-то раз символы Кристоффеля для тора. Если два параметра (углы), а радиусы жёстко заданы, то все символы Кристоффеля получились у меня нулевые. Но поскольку ответ не нуль, то скорее всего я не понял вашу параметризацию.

[Утундрий]

Пусть радиус большой окружности тора равен $1$, а малой - $a$, где $a<1$. Тогда

$$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x &= &\left( {1 + a\cos u} \right)\cos v} \\ {y &= &\left( {1 + a\cos u} \right)\sin v} \\ {z &= &a\sin u} \\ \end{array} } \right. \] $$

Как-то поменьше констант, не находите?