Задача по теоретической механике. Уравнения Лагранжа.

[tech]

Здравствуйте.
Задал вопрос в разделе "Физика", однако там на него никто не хочет отвечать. Попробую попытать счастья здесь.
В общем, есть задача:
Внутри полого цилиндра массы $M$ и радиуса $R$, который может свободно качаться вокруг своей горизонтальной образующей, катится без проскальзывания однородный цилиндр массы $m$ и радиуса $r$. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.

(Оффтоп)

Часть моего решения:

$$K=K_M+K_m; \ K_M=\frac{1}{2}(2MR^2)\dot\theta^2; \ K_m=\frac{1}{2}mv_C^2+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)\omega^2$$

Скорость центра масс маленького цилиндра складывается из переносной и относительной:

$$v_C^2=v_e^2+v_r^2+2v_e v_r \cos(\theta-\varphi)$$

$$v_r=(R-r)(\dot\varphi-\dot\theta); \ \ v_e=l(\theta,\varphi)\dot\theta; \ \ l^2(\theta,\varphi)=R^2+(R-r)^2+2R(R-r)\cos(\theta-\varphi)$$

(Оффтоп)

Угловая скорость цилиндра:

$$\omega=\dot\theta-\frac{R-r}{r}(\dot\varphi-\dot\theta)$$

Таким образом,

$$K=MR^2\dot\theta^2+\frac{m}{2}[l^2(\theta,\varphi)\dot\theta^2+(R-r)^2(\dot\varphi-\dot\theta)^2+2l(\theta,\varphi)\dot\theta(\dot\varphi-\dot\theta)(R-r)\cos(\theta-\varphi)]+\frac{1}{4}mr^2[\dot\theta-\frac{R-r}{r}(\dot\varphi-\dot\theta)]^2$$

Хочу спросить: правильно ли я нашёл кинетическую энергию системы? (Моё уравнение в итоге получилось раз в пять длиннее, чем уравнение из ответов)

[Негамильтон]

по-видимому, неправильно.

как бы вы не выбирали обобщенные координаты, вряд ли удастся добиться независимого движения двух цилиндров (точнее - наверняка не удастся)
поэтому уже как-то странно видеть уравнение только с одной массой


во-вторых, разберитесь, что авторы этого ответа подразумевали под "фи" - в задачах с двойным маятником обычно за вторую координату принимают угол отклонения второго маятника от первого, а не от вертикали

[tech]

Ну, и в кинетической энергии, и в потенциальной (которую я не привёл в своём сообщении) у меня присутствуют и $M$, и $m$.
А из рисунка видно, что угол $\varphi$ отсчитывается от вертикали.

[Негамильтон]

угу... увидел наконец-то ))))

да, навскидку ничего "интересного" пока не найдено.

на досуге посмотрю еще разок поподробнее.

[Негамильтон]

ну вот уже одну ошибочку нашел, кажется - угол между переносной и относительной скоростями очевидным образом не равен θ-ϕ.




скорее всего, вообще имеет смысл рассматривать относительное движение маленького цилиндра не отн. ц.м., а отн. точки касания большого цилиндра

[Oleg Zubelevich]

Негамильтон в сообщении #948445 писал(а):

вообще имеет смысл рассматривать относительное движение маленького цилиндра не отн. ц.м., а отн. точки касания большого цилиндра

справка: движения относительно точки не бывает, бывает движение относительно СО

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #948695 писал(а):

справка: движения относительно точки не бывает, бывает движение относительно СО

На мой взгляд, чистейшая придирка. А как же быть с вращением "вокруг центра", поворотами "относительно мгновенного центра скоростей" и т.д.?

[tech]

Я понял, как просто найти скорость точки $C$. Для этого нужно рассмотреть поступательное движение системы координат с началом в центре большого цилиндра, ну и движение точки $C$ относительно этой системы координат.
Тогда $\textbf{v}=\textbf{v}_e+\textbf{v}_r$, угол между этими векторами равен $\theta-\varphi$ (на рисунке с углами я ошибся, да).
$v_e=R\dot\theta; \ v_r=(R-r)\dot\varphi$. И кинетическая энергия запишется достаточно просто.
Всем спасибо.