Показываем несмещенность оценки по методу моментов

[Pisarik]

Добрый вечер!
Задание состоит в том, чтобы найти оценку для случайной величины $\xi$. Известно, что она имеет показательное распределение с параметром $\lambda$. Ну и затем исследовать эту оценку на несмещенность, эффективность и асимптотическую нормальность.
такая вот получается оценка по методу моментов:
$\tilde{\lambda} = n(\sum_{i=1}^n x_i)^{-1}$
Определение несмещенности оценки: мат ожидание от оценки равно истинному значению параметра (хотя тут я уже мог запутаться). записывают обычно так:
$M\tilde{\lambda} = \lambda^o$.
Я посмотрел на википедии, как показали несмещенность выборочного момента (среднего из выборки):
Выборочное среднее $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i$ является несмещённой оценкой математического ожидания $X_i$, так как если $\mathbb{E}X_i = \mu<\infty, \; \forall i\in \mathbb{N}, то \mathbb{E}\bar{X} = \mu.$.
Т.е. сама реализация случайной величины - тоже является как бы случайной величиной и выборку можно считать, как набор одинаково распределенных, независимых величин. В данном случае взяли математическое ожидание это случайной величины (и почему-то решили - что оно будет являться истинным значением этой случайно величины как я понял). Затем уже посчитали мат ожидание от оценки
$\bar{X}$, свели ее к сумме мат ожиданий $X_i$, получили $n$ истинных значений, разделили на $n$ и получилось равно истинному значению.
Вопросы примерно такие:
Все-таки мат ожидание $X_i$ - это что? истинное значение? Если да, то тогда это истинное значение чего? случайной величины $\xi$? Если да, то почему тогда мат ожидание от получившейся оценки параметра должно быть равно истинному значению случайной величины? Или я неправильно понял определение несмещенности оценки?
И потом еще... как мне все-таки посчитать это мат ожидание от $\tilde{\lambda}$? Я знаю существует распределение Эрланга - это сумма $n$ независимых случайных величин, с показательным распределением. А тут мне получается надо найти будет мат ожидание от обратной случайной величины Эрланга? $(\frac{1}{erlang})$

[Brukvalub]

Pisarik в сообщении #948399 писал(а):

...
Вопросы примерно такие:
Все-таки мат ожидание $X_i$ - это что? истинное значение? Если да, то тогда это истинное значение чего? случайной величины $\xi$?...

Вы старательно пропускаете важные слова: "точечная оценка ПАРАМЕТРА". Есть исходная с.в. которую наблюдают в виде набора ее значений (выборки), у нее есть характеристика, например, ее мат.ожидание. Это мат. ожидание у нее - истинное, оно только одно, и другого мат. ожидания у нее нет. Для оценивания мат. ожидания предлагается сделать некоторое вычисление со значениями выборки, полученной при наблюдении этой с.в. В результате вычислений получается некая другая с.в. - статистика. Вот если мат. ожидание этой новой с.в. равно оцениваемому параметру (в данном случае - мат. ожиданию исходной с.в., той, которая использовалась для вычисления статистики), то оценка называется несмещенной оценкой того параметра исходной с.в., который оценивался.

[Pisarik]

Brukvalub
Спасибо, кажется прояснилось, т.е. мы же получается оцениваем параметр с помощью выборки и на деле получается, что оценка параметра - это есть другая случайная величина - статистика.. короче въехал:)

[provincialka]

Интересно, как действует человеческий разум. Наверняка на лекциях (в книжках) вам об этом говорили. Но пока не пропустишь информацию через себя, через некий катарсис, она не станет по настоящему понятной!