Уклонение биномиальной случайной величины от пуассоновской

[R_e_n]

1 По какой формуле можно оценить уклонение биномиальной случайной величины $Bin(n, \frac{\lambda}{n})$ от пуассоновской $P(\lambda)$?
2 При каких $n$ и $p$ пользуются распределением Пуассона на практике? Не могу найти.

[Otta]

Севастьянова почитайте, что ли. Хотя мне кажется, это везде должно быть.

[--mS--]

Например, расстояние в метрике полной вариации можно оценить как

$$\sup_{A\subseteq \mathbb Z_+} \left|Bin_{n, \frac{\lambda}{n}}(A) - P_\lambda(A)\right|\leqslant \min\left(\frac{\lambda}{n},\,\frac{\lambda^2}{n}\right).$$

[R_e_n]

--mS-- в сообщении #944525 писал(а):

Например, расстояние в метрике полной вариации можно оценить как

$$\sup_{A\subseteq \mathbb Z_+} \left|Bin_{n, \frac{\lambda}{n}}(A) - P_\lambda(A)\right|\leqslant \min\left(\frac{\lambda}{n},\,\frac{\lambda^2}{n}\right).$$

Спасибо, то что нужно. Только в учебнике Севастьянова нашел только $\frac{\lambda^2}{n}$, ограничение $\frac{\lambda}{n}$ не нашел. Где можно посмотреть про $\frac{\lambda}{n}$ ?

Еще один вопрос. А как теперь оценить ошибку при замене случайной величины $\xi$, распределенной по закону Пуассона с параметром $\lambda$ на случайную величину $\eta$, имеющую биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$ $(p=\frac{\lambda}{n})$

Я попытался найти математическое ожидание квадрата разности между ними $E(\eta-\xi)^2$. Я пытался выписать плотность распределения случайной величины $(\eta-\xi)^2$ через формулу свертки, но у меня получилась сложная сумма, которая никак не сворачивается. Я на правильном пути? Я могу привести выкладки. Может быть есть проще путь? Или подскажите, где в литературе это есть.

[ИСН]

R_e_n в сообщении #947351 писал(а):

Я попытался найти математическое ожидание квадрата разности между ними $E(\eta-\xi)^2$.

Как связаны Ваши величины? Зависимы они или нет? Если нет, то матожидание квадрата разности между ними найти очень легко, только оно никак не характеризует близость распределений.

[--mS--]

R_e_n в сообщении #947351 писал(а):

Где можно посмотреть про $\frac{\lambda}{n}$ ?

Например, тут: http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/stati ... eNotes.pdf
На русском языке - не знаю, только курсы лекций.

[R_e_n]

ИСН в сообщении #947512 писал(а):

Как связаны Ваши величины? Зависимы они или нет? Если нет, то матожидание квадрата разности между ними найти очень легко, только оно никак не характеризует близость распределений.

Да, согласен, что легко и что не характеризуют.

--mS-- в сообщении #947592 писал(а):

Например, тут: http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/stati ... eNotes.pdf

Да, нашел, спасибо

Я тут подумал, что можно программу составить и посчитать ошибку. Ошибку я считал двумя способами:
1. $ \sqrt{\frac{\sum_{k=0}^{n}(P(\eta=k) \cdot k - P(\xi=k) \cdot k)^2}{n + 1}}$
2. $ \sup_{k=0..n}|P(\eta=k) \cdot k - P(\xi=k) \cdot k|$

Большое спасибо всем за помощь.