Динамические системы на двумерном цилиндре

[maxmatem]

Доброе утро.

Пытаюсь разобраться в следующем вопросе.

Итак пусть нам задан двумерный цилиндр. ${(\gamma;\omega) \in R^{2} : \gamma \mod {2\pi} }$
где $\gamma$ периодическая координата
Я никак не могу понять как мне записать на данном цилиндре хоть какую нибудь динамическую систему.?


Можно ссылку на литературу.

Я как понимаю надо как то взять уравнение цилиндра в декартовых координатах и что то с ним делать...

[ИСН]

А как записать хоть какую-нибудь динамическую систему хоть где-нибудь, Вы понимаете?

[maxmatem]

Конечно, например записать систему двух диф уравнений и она задаст динам си-му

-- Вт дек 16, 2014 11:36:22 --

на плоскости

Но могу честно сказать что я в этом не силен, поэтому хотелось бы разобраться, в инете пытался найти и не смог

[ИСН]

maxmatem в сообщении #947490 писал(а):

Конечно, например записать систему двух диф уравнений и она задаст динам си-му

Ну вот и тут так же; какая разница-то?

[maxmatem]

Я вот что думаю, тут можно перейти к декартовым и написать x с точкой и у с точкой ......короче да плохо понимаю.........
можно намекнуть...

мне эту задачу никуда сдавать не надо, и я не ищю халявы, просто разобраться хочу

Может где почитать....

[Oleg Zubelevich]

maxmatem в сообщении #947460 писал(а):

Итак пусть нам задан двумерный цилиндр. ${(\gamma;\omega) \in R^{2} : \gamma \mod {2\pi} }$
где $\gamma$ периодическая координата
Я никак не могу понять как мне записать на данном цилиндре хоть какую нибудь динамическую систему.?

динамическая система на цилиндре это динамическая система на плоскости $(\gamma;\omega)$ c векторным полем периодичным по $\gamma$; замены переменных, первые интегралы и т.п. тоже должнвы быть периодичными

[ИСН]

Сложно объяснить, maxmatem, что и насколько тут не так. Это как асфальт и лыжи... нет, лучше иначе. Предположим, к Вам приходит некий молодой человек, взыскующий мудрости, и спрашивает:
- Я умею решать уравнения $10x=20, 11x+1=34$ и подобные им. Скажите, где мне прочитать о методах решения уравнений, у которых первый коэффициент начинается на цифру 2? Может, книга какая-то есть?
. . .
Что Вы ему ответите?

[maxmatem]

Oleg Zubelevich
Я в принципе на интуитивном уровне это понимаю, но записать то как.......

просто взять и с-му диф ур-ий записать.

Короче мне стыдно.....

-- Вт дек 16, 2014 12:05:12 --

ИСН

я понял намек

[Oleg Zubelevich]

примером динамической системы на цилиндре является математический маятник

[maxmatem]

то есть если я запишу что то в виде

$\gamma^{|}=-\omega +f(\gamma)$
$\omega^{|}=g(\gamma)$

где функции в правой части переодичны по $\gamma$

в левой части это производные

[Oleg Zubelevich]

можно и так $\dot\gamma=\omega\sin\gamma,\quad \dot\omega=\cos(\gamma-\omega)$

[maxmatem]

Oleg Zubelevich
Кстати а если бы я захотел скажем посмотреть динамические системы на листе мебиусе, то это возможно?
Я например знаю стандартную параметризацию этого листа от двух параметров.

И хотел бы написать динамич с-му в общем виде на нем
Это реально?

[Oleg Zubelevich]

функция на листе Мебиуса это функция $f(x,y)$ определенная в полосе $|y|\le 1$ стандартной декартовой плоскости $(x,y)$ такая, что
$f(x,y)=f(x+1,-y)$

[maxmatem]

хорошо, а при чем функция то, я думал надо как то через параметризацию делать

$x(u;v)= (1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2})\cos u$
$y(u;v)= (1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2})\sin u$
$z(u;v)= \frac{v}{2} \sin\frac{u}{2}$

$u\in [0:2\pi]$
$v\in [-1:1]$

[ИСН]

Как делать - это вопрос второй. Что делать? Чтобы исследовать что угодно на листе Мёбиуса, Вам не надо знать, как он вложен в трёхмерное пространство (и вложен ли вообще), из какого металла сделан, какой краской покрашен. Это всё незавиcимые вещи.