Задача на теорему о классификации абелевых групп(?)

[pooh__]

Требуется описать все неизоморфные абелевы группы $G$, в которых существует $\mathbb{Z}_{4} \cong H \subset G$ причем $G/H \cong \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{8}$

Ну тк $\mathbb{Z}_{4} $ неразложимый подмодуль она содержится в какой-то примарной группе $\mathbb{Z}_{2^k}$ и
$G/H \cong (G' \oplus \mathbb{Z}_{2^k})/H \cong G' \oplus \mathbb{Z}_{2} $
Откуда $G' = \mathbb{Z}_{3}, k = 8$.

Но вот я сегодня спрашивал и мне назвали еще один один вариант, который я успешно забыл.
И в упор теперь не вижу возможности для другого варианта!

[Sonic86]

pooh__ в сообщении #947131 писал(а):

$G' = \mathbb{Z}_{3}$

Вы явно написали не то, что хотели. Откуда $\mathbb{Z}_3$-то?
Рассуждение, в целом, честно говоря, я не понимаю. Однако ясно, что я могу получать неизоморфные абелевы группы из разложения числа $6$ в сумму натуральных чисел, удовлетворяющих понятно каким требованиям. Я вижу $3$ разложения, удовлетворяющие условию. А почему Вы их не видите?
Хотя нет, я, наверное, что-то не понимаю все-таки...

[pooh__]

Ох прошу прощения закралась опечатка и я упустил момент, когда можно отредактировать!
Должно быть
$G/H \cong \mathbb{Z}_{3} \oplus\mathbb{Z}_{2}$

[Sonic86]

pooh__ в сообщении #947227 писал(а):

Ох прошу прощения закралась опечатка и я упустил момент, когда можно отредактировать!
Должно быть
$G/H \cong \mathbb{Z}_{3} \oplus\mathbb{Z}_{2}$

По теореме Лагранжа Вы сейчас утверждаете, что $3\mid 64$. Это понятно? Или я гоню?

[pooh__]

В самом условии

$$G/H \cong \mathbb{Z}_{3} \oplus\mathbb{Z}_{2}$$

[Sonic86]

Ааа, понял.
Но все равно: есть как минимум 3 варианта $G$.
Точно так же: я могу $24$ разложить на множители, множители как-то сгруппировать, произведениям поставить в соответствие группы. Не факт, что я найду все, но это помогает найти примеры.

[pooh__]

Ах все стал прямо раскладывать 24 на множители и нашел таки эту
$\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{4} \oplus \mathbb{Z}_{3}$

Но вот в том что третьей нет я совершенно уверен

[Sonic86]

pooh__ в сообщении #947247 писал(а):

Но вот в том что третьей нет я совершенно уверен

Давайте я попробую, а Вы мне скажете: да или нет.
$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{12}$,
$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{4}$,
$\mathbb{Z}_8 \times \mathbb{Z}_{3}$

А, понял: $\mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_4$
Правильно?
Почему оставшиеся 2 группы неизоморфны, я знаю.

[pooh__]

Но $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{3} \oplus \mathbb{Z}_{4}$

[Sonic86]

Спасибо

[pooh__]

Вам спасибо;3