Производная сложной функции

[Nurzery[Rhymes]]

Изучаю разобранное решение уравнения $2yy'' = (y')^2 + 1$ и не могу сообразить, как здесь работает дифференцирование функции. Решение:
В уравнение не входит $x$. Полагаем $y'=p(y)$, то есть производную считаем какой-то функцией от $y$. Тогда

$y'' = \frac{d(y')}{dx}=\frac{dp(y)}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p' p$

Я не понимаю, как мы получили $\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}$. Мы дифференцируем $p(y)$ по $x$, и это сложная функция: $p$ зависит от $y$, а $y$ зависит от $x$. Если мы $y'$ дифференцируем по $x$, почему тогда мы дифференцируем $p$ по $y$, а не по $x$?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946969 писал(а):

почему тогда мы дифференцируем $p$ по $y$, а не по $x$?

Потому что $p$ функция именно от $y$.

Например, пусть $y=x^2, x > 0$. Тогда $y'=2x=2\sqrt {y}$. Вот эта последняя функция и есть $p(y)$

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #946973 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946969 писал(а):

почему тогда мы дифференцируем $p$ по $y$, а не по $x$?

Потому что $p$ функция именно от $y$.

Но ведь $y$ зависит от $x$. Например, в программировании есть такой порядок вычислений: сначала полная подстановка операндов в функцию, затем редукция (вычисление, упрощение).
То есть если функция объявлена как

(defun f(x, y)
(+ x y))

То если мы передадим ей аргументы $n+1$ и $2n$, то после полной подстановки получим

f(n+1, 2n)

И это разворачивается в такое выражение:

(+ n+1 2n)

Я математические функции воспринимаю так. Если $y$ зависит от $x$, например так: $y=x\sin x$, а $p$ зависит от $y$ так $p(y)=\ln y$, то после полной подстановки получим функцию от $x$:

$p(y) = \ln y = \ln (x\sin x)$.

Почему я должен относиться к функции от $x$ как к функции от $y$?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946990 писал(а):

Почему я должен относиться к функции от $x$ как к функции от $y$?

А почему не должны? Вот в вашем примере $p$ - это функция логарифм. А уж к чему ее применить - разговор другой.

Привычная запись элементарных функций приучает нас к путанице. Например, мы считаем, что $\ln x$ -- это функция. На самом деле это значение: значение функции $\ln$ в точке (на аргументе) $x$.

А запись $\ln (x\sin x)$ задает совсем другую функцию, композицию функций $\ln$ и $g$ такой, что $g(x)=x\sin x$

[Nurzery[Rhymes]]

Для меня запись $p(y)$ это не более чем абстракция. Если представить, что за ней скрывается, то увидим функцию от $x$. Поэтому я не понимаю, почему должен дифференцировать $p$ не по $x$.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #947010 писал(а):

Для меня запись $p(y)$ это не более чем абстракция.

Глупости. Не более абстракция, чем любая математическая запись.
Еще раз говорю: приучайтесь различать формулу и функцию. Я же вам уже приводила пример:

provincialka в сообщении #946973 писал(а):

Например, пусть $y=x^2, x > 0$. Тогда $y'=2x=2\sqrt {y}$. Вот эта последняя функция и есть $p(y)$

В записи $p(y)=2\sqrt{y}$ никакого $x$ нет, вам не кажется? Это функция "корень", значение которой умножено на 2.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #947013 писал(а):

В записи $p(y)=2\sqrt{y}$ никакого $x$ нет, вам не кажется? Это функция "корень", значение которой умножено на 2.

Кажется, я начинаю понимать. Такая функция высшего порядка, если говорить словами функционального программирования, которая может принимать что угодно: хоть число, хоть функцию от $x$, хоть функцию от $z$ или от любой другой переменной. Но ее все равно нельзя дифференцировать как обычную функцию, правда? Например, нельзя просто записать $y'$, если $y$ принимает не число, а другую функцию. Поэтому мы сначала дифференцируем $p$ по $y$, т.к. $y$ - аргумент $p$, а потом дифференцируем $y$ по той переменной, от которой она зависит - хоть от $x$, хоть от $z$.

-- 15.12.2014, 21:23 --

А, вот даже у Фихтенгольца в сносках написано: подчеркнем, что символ ${f'}_u (\varphi (x_0))$ означает производную функции $f(u)$ по ее аргументу $u$ (а не по $x$) при значении $u_0 = \varphi (x_0)$

[ИСН]

Метафора программирования в данной ситуации - плохая, негодная метафора. Забудьте её. В программировании у функции не возникает естественным образом обратная функция, а здесь - да.