Построения "поля натуральных чисел"

[XMRDOR]

Здравствуйте.
Если выполнить следующие действия:
1) Взять множество натуральных чисел, построенное, используя аксиомы Пеано
2) Построить биекцию $f$ между натуральными числами и рациональными
3) Ввести две операции на множестве натуральных чисел следующий образом $a(+)b := f^{-1}(f(a)+f(b))$, $a(\cdot)b := f^{-1}(f(a)\cdot f(b))$ где "$-$" и "$\cdot$" - обычные операции сложения и умножения рациональных чисел
Видно, что для множество натуральных чисел с введенными таким образом операциями сложения и умножения выполняются все аксиомы поля. Корректно ли утверждать, что таким образом было получено "поле натуральных чисел"? Да, конечно, это поле будет изоморфно полю рациональных чисел, но, по факту, все действия выполняются с натуральными числами. Аксиомы Пеано так же не были изменены (функцию следования можно задать просто множеством пар).

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: простой вопрос

Да, это будет поле. Естественно, его не следует путать с обычным кольцом целых чисел или полукольцом натуральных чисел. Думаю, Вы не запутаетесь.

XMRDOR в сообщении #946927 писал(а):

"поле натуральных чисел"

Когда говорят "поле каких-то там элементов", то обычно имеют ввиду не произвольные сложение и умножение, а стандартные, фиксированные. Так что говорить, что мы построили поле натуральных чисел, нельзя.

[Evgenjy]

То, что Вы сделали, это дали другие имена рациональным числам. Теперь рациональные числа выступают под псевдонимами. Можно переименовать рациональные числа именами любого счетного множества.

[provincialka]

XMRDOR в сообщении #946927 писал(а):

(функцию следования можно задать просто множеством пар)

Вот это непнятно