Исследовать сходимость числового ряда

[krodd2]

Здравствуйте!

Нужно исследовать сходимость числового ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n+1)}{\sqrt[4]{n^5}}$

Проверьте, пожалуйста, правильность моего решения.


$a_n=\frac{\ln(n+1)}{\sqrt[4]{n^5}} \sim \frac{n}{\sqrt[4]{n^5}} \sim \frac{1}{n^{\frac{1}{4}}}=b_n$

$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1 / 4}}$ - расходится как обобщенный гармонический ряд.

Следовательно исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln(n+1)}{\sqrt[4]{n^5}}$ расходится по признаку сравнения в предельной форме.

[Pphantom]

Логарифм эквивалентен линейной фунции? Вы уверены?

[Nurzery[Rhymes]]

Особенно не вникал в решение, но эквивалентность работает только для бесконечно малых, а у вас $n$ под логарифмом стремится к бесконечности.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Так дело в том, что на бесконечности логарифм растёт медленнее любой степени, т.е. в каком то смысле эквивалентен константе, когда вы сравниваете его со степенными функциями.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946362 писал(а):

Особенно не вникал в решение, но эквивалентность работает только для бесконечно малых

Эквивалентность работает для каких угодно. Но это разная эквивалентность. Для бесконечно малых - одна, для бесконечно больших - другая, в промежутке ещё какая-нибудь.

-- менее минуты назад --

А! Вы имели в виду "эта эквивалентность работает только для бесконечно малых"? Ну тогда да, ОК.