Линейные неоднородные уравнения: метод подбора

[Nurzery[Rhymes]]

Разбираю метод решения линейных неоднородных уравнений на таком примере. Дано уравение $y''' - y'' + y' - y = x^2 + x$
Сначала решаем его как обычное линейное уравнение:
1) $\lambda ^3 - \lambda ^2 + \lambda -1=0$, $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = -i, \lambda = i$
Значит, общее решение равно $C_1 e^x + C_2 \cos x + C_3 \sin x$

Теперь самая сложная для меня часть - подбор вида частного решения. Общий вид правой части, при котором можно применить метод подбора, следующий: $f(x) = e^{\alpha x}[P_l (x) \cos \beta x + Q_m (x) \sin \beta x]$, где $l$ и $m$ - степени многочленов $P$ и $Q$.

Тогда частое решение ищется в виде $y = x^s e^{\alpha x}[\bar{P}_k (x) \cos \beta x + \bar{Q}_k (x)\sin \beta x]$. Здесь $s$ - кратность корня $\lambda = \alpha + i\beta$ характеристического уравнения, а $k$ - максимальное из чисел $l$ и $m$.

Так как число ноль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде $y=Ax^2 + Bx + C$. Вопрос - почему это так. Почему именно число ноль? Потому что правую часть $x^2 + x$ можно записать как $e^{0\alpha}[(x^2 + x)\cos 0 + \sin 0]$, и если бы исходное уравнение имело такое решение, то ему соответствовал бы корень $0$? Поэтому, раз хар. уравнение не имеет такого корня, то $e$ возводится в степень $0$ и дает единицу, а из многочленов в квадратных скобкам выбираем наибольшую степень $2$ и частное решение ищем в виде квадратного трехчлена?

Объясните поподробнее, очень хочу разобраться.