Литература по аппроксимации

[Garron]

Скажите, что почитать по практической аппроксимации табличных (экспериментальных)
данных, если степень полинома меньше числа точек с равномерной нормой (т.е. как минимум
максимума расстояния по оси ординат от полинома до узловой точки).
Может быть, Чебышевскими полиномами?
Я не смог найти литературы по этому вопросу - везде либо МНК, либо
интегральная норма (Лежандр), либо сразу переход к интерполяции,
либо рассматривается аппроксимация функций, а не точечная.
Посоветуйте, пожалуйста, нормальный учебник. И где его скачать?
Заранее спасибо.

[Pphantom]

Странная задача. "Практическая аппроксимация экспериментальных данных" и все последующее как-то плохо согласуются друг с другом.

Обычные сплайны Вас не устроят?

[мат-ламер]

Garron в сообщении #945502 писал(а):

Скажите, что почитать по практической аппроксимации табличных (экспериментальных)
данных, если степень полинома меньше числа точек с равномерной нормой (т.е. как минимум
максимума расстояния по оси ординат от полинома до узловой точки).
Может быть, Чебышевскими полиномами?

Литературу подсказать не могу. Попробуйте введением дополнительных переменных свести задачу аппроксимации к задаче линейного программирования. Если не получится, пишите. Что-нибудь сообразим. Если задача линейной программирования будет большой размерности, то её лучше решать методами внутренней точки. Лучше воспользоваться готовыми программами (МатЛаб, например. Есть даже готовая функция для нужной вам аппроксимации). Чебышевскими полиномами воспользоваться можно. Теоретически результат получится такой же, как в случае обычных полиномов. Однако обусловленность промежуточных задач будет меньше. Так что практический смысл есть. Сплайнами ещё более выгодно пользоваться (в смысле обусловленности).

[Garron]

Извините, но ни сплайнами, ни чем-то подобным, пользоваться не могу!
Условие очень строго. Есть точки и есть степень полинома. И есть условие
на норму отклонения типа минимакса. И всё!
То есть, неужели не разработан какой-либо алгоритм? A?

-- 14.12.2014, 12:02 --

Понимаете, есть у моих данных некотороя особенность. А именно пик в значениях, который
нужно обязательно отобразить в аппроксимирующей функции. Любые стандартные аппроксимации типа МНК или интегральных дают нечто среднее, что мне не подходит.
Мне нужна аппроксимация, учитывающая особенности именно моей функции.

-- 14.12.2014, 12:04 --

Да, кстати, никакими программами воспользоваться не могу! Ну вот такое положение.

[мат-ламер]

Garron в сообщении #946016 писал(а):

То есть, неужели не разработан какой-либо алгоритм? A?

Какое из сообщений в предыдущих постах подтолкнуло вас на эту мысль? Кстати, из литературы можете почитать следующее
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042700003332. Конкретно, пункт 2.4. Но лучше этого не делать. Дело в том, что вам нужен не лучший метод, а тот, который проще запрограммировать. Проще всего выбрать из двух подходов. 1) Задачу аппроксимации представить как задачу негладкой (кусочно-линейной) оптимизации. Её решать методом субградиента. 2) Решение вашей задачи является пределом последовательностей решений вспомогательных задач аппроксимации. Каждая задача есть задача аппроксимации для $l^p$-нормы, где $p$ стремится к бесконечности. Каждую из вспомогательных задач решать методом Ньютона.

[Pphantom]

Garron в сообщении #946016 писал(а):

Извините, но ни сплайнами, ни чем-то подобным, пользоваться не могу!
Условие очень строго. Есть точки и есть степень полинома. И есть условие
на норму отклонения типа минимакса. И всё!

Действительно странная задача - много неестественных в подобной ситуации ограничений.

Garron в сообщении #946016 писал(а):

Понимаете, есть у моих данных некотороя особенность. А именно пик в значениях, который
нужно обязательно отобразить в аппроксимирующей функции. Любые стандартные аппроксимации типа МНК или интегральных дают нечто среднее, что мне не подходит. Мне нужна аппроксимация, учитывающая особенности именно моей функции.

Стало быть, придется немного модернизировать МНК. Вы можете минимизировать не просто сумму квадратов отклонений, а взвешенную сумму, задав сравнительно большие веса в выделенных значениях (или даже просто задав требование прохождения полинома через эти точки).

Garron в сообщении #946016 писал(а):

Да, кстати, никакими программами воспользоваться не могу! Ну вот такое положение.

Что-то это очень сильно напоминает дурацкую учебную задачу, в которой надо почесать правой ногой левое ухо.

[mserg]

Чтобы предлагать «методы», неплохо было бы увидеть (математическую) формулировку задачи.

Или словесное описание задачи и сами данные. По ним можно подсказать математическую формулировку.

После этого – методы.

[мат-ламер]

Pphantom в сообщении #946138 писал(а):

Что-то это очень сильно напоминает дурацкую учебную задачу,

Если программировать всё самим, то это тянет уже на курсовую работу. Garron. Может что найдёте в книге Лорана "Аппроксимация и оптимизация".