Вероятность наступления не менее m успешных исходов

[electric_retard]

Некое устройство состоит из $n$ узлов, каждый узел имеет разную вероятность поломки $p_i$. Определить вероятность поломки устройства. Событие "поломка устройства" наступает, когда $m$ и более узлов в составе устройства вышли из строя (сломались).
Для случая, когда вероятности поломки узлов $p_i$ одинаковы, есть формула Бернулли, а как быть в данном случае?
Получается нужно суммировать вероятности всех возможных комбинаций вручную? Например для случая, когда узла 3, а поломка наступает, если из строя вышло 2 и более:
$p_1p_2+p_1p_3+p_2p_3+p_1p_2p_3$, естественно $+$ производится как для вероятностей независимых событий.
Есть ли для такой задачи красивая формула? Или приведенный мною способ единственный?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

electric_retard в сообщении #944718 писал(а):

Имеем $n$ вероятностей наступления события $A$: $p_1, p_2, ... p_n$,

Сформулируйте задачу внятно, пожалуйста. Что такое событие $A$ и почему у одного события $n$ разных вероятностей, что такое событие $B$.
Затем, тем не менее, приведите свои попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Shadow]

electric_retard в сообщении #944718 писал(а):

Например для случая, когда узла 3, а поломка наступает, если из строя вышло 2 и более:
$p_1p_2+p_1p_3+p_2p_3+p_1p_2p_3$

Четыре слишком много для вероятности

[electric_retard]

Shadow
Не очень понял об чем речь
Если вы про $+$, то под конструкцией вида $A+B$ на самом деле подразумевается конструкция вида $A+B-AB$, я указал это.

[Otta]

Речь о том, что если Вы в качестве тестовой возьмете ситуацию, когда все ломается с вероятностью 1, то.

[provincialka]

electric_retard в сообщении #945547 писал(а):

Если вы про $+$, то под конструкцией вида $A+B$ на самом деле подразумевается конструкция вида $A+B-AB$, я указал это.

А эта конструкция у вас подразумевается для событий или для вероятностей?
И вообще. Не надо под "плюсом" подразумевать не "плюс".

[electric_retard]

Otta
Действительно, фигня-с получается.
Формулу из моего первого сообщения надо переписать:

$p_1p_2(1-p_3)+p_1p_3(1-p_2)+p_2p_3(1-p_1)+p_1p_2p_3$

Первые три слагаемых отвечают за выход из строя двух узлов, а последнее за выход из строя всех трех.
Т.к. события несовместные, то суммировать их надо таки самым обычным способом.
Теперь вычисления по формуле совпадают с экспериментом.
Но как быть с общим случаем: $m$ и $n$ произвольные. Для каждого конкретного случая конструировать формулу заново?
provincialka
Конструкция для вероятностей была.

[provincialka]

Ну что ж тут сделаешь... Разве что при больших $m$ перейти к противоположному событию. Все поменьше слагаемых...

[Александрович]

electric_retard в сообщении #944718 писал(а):

Некое устройство состоит из $n$ узлов, каждый узел имеет разную вероятность поломки $p_i$. Определить вероятность поломки устройства. Событие "поломка устройства" наступает, когда $m$ и более узлов в составе устройства вышли из строя (сломались).
Для случая, когда вероятности поломки узлов $p_i$ одинаковы, есть формула Бернулли, а как быть в данном случае?
Получается нужно суммировать вероятности всех возможных комбинаций вручную? Например для случая, когда узла 3, а поломка наступает, если из строя вышло 2 и более:
$p_1p_2+p_1p_3+p_2p_3+p_1p_2p_3$, естественно $+$ производится как для вероятностей независимых событий.
Есть ли для такой задачи красивая формула? Или приведенный мною способ единственный?

Получается. Если вас интересует единственная практическая задача, то так и поступайте.

[electric_retard]

Считаться эта "джигурда" должна очень много раз, при помощи компьютера. Вот, что в итоге получилось на MATLAB:

(Код)

p   = [.2 .3 .5];
p_    = 1 - p;

n = numel(p);

P       = zeros(1,n+1);
P(1)   = prod(p);
P(end)   = prod(p_);

idx   = 1:n;

for i=1:n-1
    for j=1:n
        id = circshift(idx>i,j-1,2);
        P(i+1) = P(i+1) + prod([p(id) p_(~id)]);
    end
end