Масса тела и расходящийся(?) интеграл

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, додумать такую задачу: найти массу тела

$$G: x+y+z=1, \quad x=0, \quad y=0, \quad z=0$$

если плотность

$$\mu = \frac{1}{(x+y+2z-1)^4}$$

Насколько я понимаю, область $G$ это пирамида, которую можно задать как

$$0 \leqslant x \leqslant 1, \quad 0 \leqslant y \leqslant 1-x, \quad 0 \leqslant z \leqslant 1-x-y$$

Искомая масса

$$m = \iiint\limits_{G} \frac{dxdydz}{(x+y+2z-1)^4} = \int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{0}^{1-x} dy \int\limits_{0}^{1-x-y} \frac{dz}{(x+y+2z-1)^4}$$

Далее wolfram alpha мне говорит, что внутренний интеграл расходится.

Но я его нахожу, и получаю

$$\int\limits_{0}^{1-x-y} \frac{dz}{(x+y+2z-1)^4} = \frac{1}{3 \cdot (x+y-1)^3}$$

Далее

$$m = \int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{0}^{1-x} \frac{dy}{3 \cdot (x+y-1)^3}$$

А вот теперь у меня получается, что внутренний интеграл $\int\limits_{0}^{1-x} \frac{dy}{3 \cdot (x+y-1)^3}$ расходится...


Подскажите, пожалуйста, кто прав, кто виноват, и что делать

Спасибо!

[ewert]

Естественно, масса бесконечна. А что до формальных выкладок... Будем проще: посчитаем $+\infty=\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\left.-\frac1x\right|_{-1}^1=-2$. А всё почему? -- потому, что до выписывания формулок следовало бы всё-таки выяснить, при каких условиях эти формулки применимы.