Оператор на дереве

[demolishka]

Пусть $\Gamma$ - бесконечное однородное неориентированное дерево степени $k \geq 3$ со счетным числом вершин. Пронумеруем вершины дерева натуральными числами. Пусть $M = \{a_{mn}\}_{m,n=1}^{\infty}$ - матрица инцидентности дерева $\Gamma$. Зададим оператор $T: l^2 \to l^2$, такой что

$$\left(T\left(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\right)\right)_m = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}x_n.$$

То есть, $(Tx)_m$ это сумма всех $k$ соседей вершины с номером $m$. Нужно найти норму $\|T\|$ и спектр $\sigma(T)$ оператора $T$.

Покажем ограниченность $T$:

$$\|Tx\|^2 = \sum\limits_{m=1}^{\infty}|(Tx)_{m}|^2 \leq k^2\sum\limits_{m=1}^{\infty}|y_m|^2,$$

где $y_m$ - наибольший из соседей вершины с номером $m$. В свою очередь, каждый $y_m$ имеет ровно $k$ соседей, так что

$$\sum\limits_{m=1}^{\infty}|y_m|^2 \leq k\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^2.$$

Таким образом,

$$\|Tx\| \leq k^{\frac{3}{2}}\|x\|.$$

Заметим, что матрица инцидентности $M$ - это матрица оператора $T$ в стандартном базисе $l^2$. Она вещественная, так что оператор $T$ - самосопряженный. Известно, что спектр самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве - вещественный. Также известно, что $\sigma(T) \subset \overline{B}_{\mathbb{C}}(0,\|T\|).$

На этом мои продвижения в решении задачи заканчиваются. Пока не удается даже вычислить норму. Оценка с константой $k^{\frac{3}{2}}$, как мне кажется, довольно грубая. Подобраться с помощью различных подстановок не получается даже к $\sqrt{k}$.

[patzer2097]

demolishka в сообщении #943853 писал(а):

Пусть $M = \{a_{mn}\}_{m,n=1}^{\infty}$ - матрица инцидентности дерева $\Gamma$. Зададим оператор $T: l^2 \to l^2$, такой что $\left(T\left(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\right)\right)_m = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}x_n.$ То есть, это сумма всех соседей вершины с номером $m$.

Не очень понятно, что Вы имеете в виду. Мне кажется, под выделенными фрагментами Вы имели в виду либо "матрица смежностей дерева" либо "сумма концов ребра с номером $m$". Впрочем, ход решения тоже не сказать, что ясен:

demolishka в сообщении #943853 писал(а):

где $y_m$ - наибольший из соседей вершины с номером $m$.

Имеете в виду, что номер вершины $y_m$ наибольший? Но номера вершин в Вашем определении не суммируются (и они могут быть сколь угодно большими, поэтому из Вашей оценки не следует даже ограниченности).

[demolishka]

Основной момент это то, что:

Цитата:

$(Tx)_m$ это сумма всех $k$ соседей вершины с номером $m$

Поясню: вершины дерева занумерованы и каждая последовательность из $l^2$ задает вес в вершинах с номерами соответствующим номерам элементов последовательности. Оператор строит новую последовательность, беря сумму всех $k$ соседей вершины с номером $m$, не считая самой вершины.

В этом случае задание оператора удобней делать именно матрицей инцидентности($a_{nm} = 1$, если $n$-ая вершина и $m$-ое ребро инциденты и $a_{nm} = 0$ иначе). Да, я забыл упомянуть нумерацию ребер в дереве. Предполагается, что номер ребра определяется по номеру вершины, в которую оно входит.

patzer2097 в сообщении #943906 писал(а):

Имеете в виду, что номер вершины $y_m$ наибольший? Но номера вершин в Вашем определении не суммируются (и они могут быть сколь угодно большими, поэтому из Вашей оценки не следует даже ограниченности).

Теперь, исходя из моего пояснения должно быть ясно, что у вершины с номером $m$ есть ровно $k$ соседей с весами $x_{m_1},\ldots,x_{m_k}$. Вот $y_m$ - наибольший из таких весов (вернее их модулей).

[g______d]

По-моему, эта задача рассматривается в разделе 12.6 книги Davies E. B., Linear Operators and their spectra.

[patzer2097]

demolishka в сообщении #943930 писал(а):

сумму всех $k$ соседей вершины с номером $m$, не считая самой вершины

т.е. сумму "весов" или все-таки сумму номеров? Если первое, то с Вашей формулой задающей $T$ все будет в порядке, если $A$ - это матрица инцидентности. А если второе - то оператор, конечно, не обязан быть ограничен.

demolishka в сообщении #943930 писал(а):

Предполагается, что номер ребра определяется по номеру вершины, в которую оно входит.

Дело как раз в том, что номер вершины определяет ребро неоднозначно. Ведь ребер, инцидентных заданной вершине, может быть несколько.

Мне все-таки кажется, что с формулой

demolishka в сообщении #943853 писал(а):

$$\left(T\left(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\right)\right)_m = \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{mn}x_n.$$

все в порядке, только $m$ должны быть вершинами а не ребрами, а $A$ - матрицей смежности. Во всяком случае, получится понятная конструкция и не придется нумеровать ребра.

-- Ср дек 10, 2014 21:43:55 --

g______d в сообщении #943937 писал(а):

По-моему, эта задача рассматривается в разделе 12.6 книги Davies E. B., Linear Operators and their spectra.

Точно. Кстати, книга есть в интернете в свободном доступе. Что еще более удивительно, E.B.Davies тоже пишет incidence matrix, когда имеет в виду adjacency matrix.

[demolishka]

Цитата:

Дело как раз в том, что номер вершины определяет ребро неоднозначно. Ведь ребер, инцидентных заданной вершине, может быть несколько.

Это так. Но я опять забыл упомянуть: если выделить корень (например, вершину с номером 1), то получим, что в каждую вершину входит ровно одно ребро(в направление движения от корня к этой вершине). И как я понял выделять корень и вводить понятие расстояния так или иначе придется, потому что в книге

g______d в сообщении #943937 писал(а):

Davies E. B., Linear Operators and their spectra.

это используется для оценки нормы. Которая получилась $2\sqrt{k-1}$.
С другой стороны, вроде бы я умею получать нечто похожее с помощью теста Шура. Так что расстояние может быть и не пригодится.

g______d, спасибо Вам за ссылку на книгу.

Цитата:

т.е. сумму "весов" или все-таки сумму номеров?

Да, именно весов.