Сходимость ряда

[kis]

Демидович 1997, 2608
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, если $a_n=(1/n^p) \sin{\frac{\pi}{n}}$

Указанный в условии ряд сравниваю с обобщенным гармоническим $b_n=1/n^p < a_n$, который сходится при $p > 1$. Значит, исходный ряд также должен сходиться при $p > 1$. Но в ответе написано, что ряд сходится при $p>0$. Почему? Ведь обычный гармонический ряд $1/n \ (p=1)$ не сходится.

UPD: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Su ... nity%7D%5D

[Cash]

А еще ряд можно было сравнить с $b_n=1$, который расходится при любом $p$.

[kis]

Не понял, вы имеете в виду, что ряд нельзя сравнить с гармоническим? Почему?

[Otta]

kis
Другую теорему сравнения используйте. Шустрее будет.

kis в сообщении #943537 писал(а):

Значит, исходный ряд также должен сходиться при $p > 1$.

(Но это не значит, что он не может сходиться при $p=1/2$, правда?)

[kis]

Ааа, я понял. Если заменить последовательность эквивалентной, то все получится хорошо.

Я сравнивал исходный ряд с гармоническим:
$a_n=(1/n^p) \sin{\frac{\pi}{n}} < 1/n^p = b_n$
Из этого неравенства можно сделать вывод, что ряд сходится при $p>1$. Но про область $p\leqslant 1$ ничего определенного сказать нельзя.
Спасибо.

[ИСН]

Смешно: выходит, $\sum{\sin{1\over n}\over n^p}$ и $\sum{\sin n\over n^p}$ сходятся в одних и тех же областях?

[ewert]

kis в сообщении #943537 писал(а):

Но в ответе написано, что ряд сходится при $p>0$. Почему?

Потому, что синус -- он сильно-сильно маленький. И это хорошо.