Предельные точки

[grizzly]

У меня рабоче-крестьянское рассуждение вполне проходит. Совпасть точки не могут. Следовательно, их будет бесконечное число. Значит, расстояние между некоторыми двумя станет рано или поздно меньше $\varepsilon$. Пусть первую точку мы получили через $k$ поворотов, а вторую -- через $k+n$. Значит, через $k+2n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй и так и будем заполнять, пока не обойдём весь круг.

Или все говорят о том же, только на другом языке? :)

-- 09.12.2014, 00:23 --

Ну и потом, понятно, переходим к следующему $\varepsilon$.

[ex-math]

main.c
Ну вот попробуйте доказать, что при иррациональном $\alpha$ можно подобрать такое целое $n$, что дробная часть $\alpha n$ будет меньше произвольного положительного $\varepsilon$. Подсказка: поделите $[0,1)$ на мелкие кусочки и смотрите, куда попадают эти дробные части при изменении $n$.

-- 08.12.2014, 23:25 --

grizzly
Ну да, об этом.

[grizzly]

ex-math в сообщении #942735 писал(а):

grizzly
Ну да, об этом.

Мы, похоже, действительно говорим на разных языках. Я просто пытаюсь объяснить, что это полное решение -- больше ничего не нужно :)
Ещё раз:
Задали произвольное $\varepsilon$ из определения предельной точки и пошли с шагом 1 радиан. Рано или поздно нашлись две точки с расстоянием, меньшим $\varepsilon$. Зафиксировали $k$ и $n$ для этих точек. Теперь, двигаясь с шагом $n$ заполняем всю окружность с заданной плотностью $\varepsilon$. Переходим, если этого кому-то мало к $\varepsilon /2$ и т.д.

-- 09.12.2014, 00:39 --

При этом мы задействуем далеко не всё $\mathbb Z$ радиан -- останется ещё огромный запас целых.

[main.c]

grizzly в сообщении #942731 писал(а):

Следовательно, их будет бесконечное число. Значит, расстояние между некоторыми двумя станет рано или поздно меньше $\varepsilon$.

Вот если бы всё было так просто, я бы здесь не спрашивал. Тут Вы ошибаетесь, так как из бесконечности не следует, что расстояние между некоторыми двумя точками станет рано или поздно меньше $\varepsilon$.

ex-math в сообщении #942735 писал(а):

main.c
Ну вот попробуйте доказать, что при иррациональном $\alpha$ можно подобрать такое целое $n$, что дробная часть $\alpha n$ будет меньше произвольного положительного $\varepsilon$. Подсказка: поделите $[0,1)$ на мелкие кусочки и смотрите, куда попадают эти дробные части при изменении $n$.

Ну вот это я сейчас и пытаюсь сделать, уже пол тетради изрисовал .

[patzer2097]

grizzly в сообщении #942731 писал(а):

Или все говорят о том же, только на другом языке? :)

Нет, не об этом. В основном о цепных дробях и принципах Дирихле. Сейчас о приближениях иррациональных чисел рациональными, похоже, начнут. Так обычно и бывало в тех случаях, когда на dxdy обсуждалась эта задача.

[grizzly]

main.c в сообщении #942746 писал(а):

Вот если бы всё было так просто, я бы здесь не спрашивал. Тут Вы ошибаетесь, так как из бесконечности не следует, что расстояние между некоторыми двумя точками станет рано или поздно меньше $\varepsilon$.

Вот уж нет. Здесь я не ошибаюсь. Я утверждаю только, что если на окружности конечного радиуса (у нас ведь конечный радиус?) расположено бесконечное число точек, то найдутся две точки, расстояние между которыми меньше любого наперёд заданного. И ничего другого в доказательстве не использую.

[ex-math]

grizzly все правильно говорит. По сути он и доказывает теорему Дирихле. Разве что проще будет сказать не про "бесконечное количество точек", а про количество $[1/\varepsilon]+1$ (это если на $[0,1)$).

[main.c]

grizzly в сообщении #942754 писал(а):

Вот уж нет. Здесь я не ошибаюсь. Я утверждаю только, что если на окружности конечного радиуса (у нас ведь конечный радиус?) расположено бесконечное число точек, то найдутся две точки, расстояние между которыми меньше любого наперёд заданного. И ничего другого в доказательстве не использую.

Да, согласен.

[grizzly]

ex-math
Верное замечание, спасибо. Я даже не сообразил, насколько нелепо начинать конструктивного типа доказательство после размещения бесконечного количества точек.

[ewert]

grizzly в сообщении #942762 писал(а):

не сообразил, насколько нелепо начинать конструктивного типа доказательство после размещения бесконечного количества точек.

А оно у Вас и заведомо неконструктивно, и заведомо в этом право.

[grizzly]

main.c в сообщении #942760 писал(а):

Ок, тогда ответьте пожалуйста на 2 вопроса.
1. Пусть $M$ - множество точек 2 дуг окружности, пусть $[0, \pi/2]$ и $[\pi, 3\pi/2]$. Бесконечно ли данное множество?
2. Если да, то укажите в нём 2 точки с расстоянием $\pi/4$.

1. Множество точек бесконечно.
2. На этот вопрос я не могу ответить. Я даже не интересовался предполагаемой метрикой, считая, что она, как минимум, не дискретна.

Согласен, что я действительно использовал неявно многие вещи в доказательстве, считая, что они подразумеваются в условии: связность и континуальность множества, сколько-то естественную метрику и т.д. и т.п.

Идеи вопросов я не понял, но на всякий случай обращаю внимание, что мне в рассуждениях не нужны точные значения расстояний -- достаточно, чтобы не больше.

[ex-math]

grizzly
Кстати, можно и с бесконечным, если сослаться на Больцано и Вейерштрасса. В окрестности предельной точки и взять искомые две близкие точки. Все равно ни так, ни так не конструктивно.
main.c
Надо как-то получить две сколь угодно мало отличающиеся $\{\alpha n_1\}$ и $\{\alpha n_2\}$. Тогда дробные части кратных $\alpha(n_1-n_2)$ плотно заполнят $[0,1)$. Идея Дирихле состоит в том, чтобы тупо взять больше точек, чем кусков, на которые разбит отрезок. Попавшие на один кусок и будут близкими.

[main.c]

grizzly в сообщении #942731 писал(а):

У меня рабоче-крестьянское рассуждение вполне проходит. Совпасть точки не могут. Следовательно, их будет бесконечное число. Значит, расстояние между некоторыми двумя станет рано или поздно меньше $\varepsilon$. Пусть первую точку мы получили через $k$ поворотов, а вторую -- через $k+n$.

Так, хорошо, теперь я с этим я согласен. Нашли мы 2 такие точки.

grizzly в сообщении #942731 писал(а):

Значит, через $k+2n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй и так и будем заполнять, пока не обойдём весь круг.

Вот это Вы откуда взяли? Почему ещё через $n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй?

-- 09.12.2014, 00:46 --

Принцип Дирихле лишь говорит о том, что через $[1/\varepsilon]+1$ поворотов найдутся две точки, расстояние между которыми меньше $\varepsilon$. Но из этого не следует, что если мы зафиксируем произвольную точку именно до неё расстояние от какой-то точки станет меньше $\varepsilon$.

[grizzly]

main.c в сообщении #942779 писал(а):

Вот это Вы откуда взяли? Почему ещё через $n$ поворотов мы получим следующую точку на расстоянии $\varepsilon$ от второй?

Это неточность выражения, каюсь -- имелось в виду то же расстояние, что и между первыми двумя точками -- $< \varepsilon$. (Доказательство я выдумывал со скоростью 150 зн/мин, и это не единственная неаккуратность.)

А так просто -- поверните, например, всю картинку до совмещения второй точки с первой и из соображений симметрии получите необходимое через следующие $n$ циклов. А вся остальная структура множества не пострадает, естественно.

[patzer2097]

иногда бывает трудно понять ход обсуждения, неужели иррациональность $\pi$ проще, чем "бесконечное подмножество отрезка содержит две сколь угодно близкие точки"