Построить мажорирующий ряд, доказать сходимость

[Nurzery[Rhymes]]

Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-2)^{2n}}{n}$, $[\frac{3}{2}; \frac{5}{2}]$

Я вижу, что этот ряд действительно сходится: выражение в скобках принимает значения от $-0.5$ до $0.5$, следовательно, последовательность $\left\lbrace \left\lvert \frac{(x-2)^{2n}}{n} \right\rvert \right\rbrace $ убывает на данном отрезке, и ряд сходится по признаку Лейбница.

А как подобрать мажорирующий ряд? При стремлении $n$ в бесконечность члены ряда становятся такими маленькими, что не превосходят даже члены ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ или $\sum\limits_{т=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$. Можно выбрать любой из этих рядов? Естественно, я выбрал бы обобщенный гармонический, т.к. он сходится.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942106 писал(а):

При стремлении $n$ в бесконечность члены ряда становятся такими маленькими, что не превосходят даже члены ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ или $\sum\limits_{т=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

Двусмысленная фраза. "О великий император, ты больше суслика, умнее камня, мощнее мыльного пузыря." Вы что хотите и зачем? Мажорировать можно единицей; годится? нет? почему? Теперь те же вопросы приложите к своим вариантам.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #942133 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942106 писал(а):

При стремлении $n$ в бесконечность члены ряда становятся такими маленькими, что не превосходят даже члены ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ или $\sum\limits_{т=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.

Двусмысленная фраза. "О великий император, ты больше суслика, умнее камня, мощнее мыльного пузыря." Вы что хотите и зачем? Мажорировать можно единицей; годится? нет? почему? Теперь те же вопросы приложите к своим вариантам.

Потому что по признаку равномерной сходимости мажорировать надо сходящимся рядом, а ряд из единиц расходится. Просто единица рядом не является.

[ИСН]

ИСН в сообщении #942133 писал(а):

Теперь те же вопросы приложите к своим вариантам.

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #942188 писал(а):

ИСН в сообщении #942133 писал(а):

Теперь те же вопросы приложите к своим вариантам.

Первый не годится, второй годится, я прав? Только как показать, что каждый член исходного ряда меньше по модулю, чем соответствующий член мажорирующего ряда?

[ИСН]

Можно перестать красить селёдок зелёной масляной краской и выбрать нормальный мажорирующий ряд.

[provincialka]

А зачем вам Лейбниц, если вы собираетесь мажорировать?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #942207 писал(а):

Можно перестать красить селёдок зелёной масляной краской и выбрать нормальный мажорирующий ряд.

Я не умею подбирать мажорирующий ряд, как это делается? Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ вполне подходит: начиная с номера $n=1$ члены исходного ряда меньше, чем члены мажорирующего ряда. Кроме того, общие члены этих рядов монотонно убывают, значит, исключена возможность, что для какого-то номера $n$ значение общего члена исходного ряда внезапно возрастет и станет больше, чем значение соответствующего члена мажорирующего ряда.

[Otta]

Nurzery[Rhymes]
А что такое мажорирующий ряд вообще?

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #942216 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
А что такое мажорирующий ряд вообще?

Числовой ряд, члены которого больше, чем модуль соответствующих членов исходного ряда на данном интервале.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942214 писал(а):

Я не умею подбирать мажорирующий ряд, как это делается? Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ вполне подходит

Забейте, никак это не делается. Да, этот вполне подходит. А почему Вы подумали в первую очередь именно про этот?

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #942223 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942214 писал(а):

Я не умею подбирать мажорирующий ряд, как это делается? Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ вполне подходит

Забейте, никак это не делается. Да, этот вполне подходит. А почему Вы подумали в первую очередь именно про этот?

Не знаю, интуиция. Посмотрел на знаменатель исходного ряда и пришла в голову мысль выбрать обобщенный гармонический.

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942219 писал(а):

Числовой ряд, члены которого больше, чем модуль соответствующих членов исходного ряда на данном интервале.

Вот и пишите соответствующий член исходного ряда. Написали. Модуль по краям. Написали. Оценивайте сверху на Вашем множестве. Чем точнее, тем лучше.

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #942227 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #942219 писал(а):

Числовой ряд, члены которого больше, чем модуль соответствующих членов исходного ряда на данном интервале.

Вот и пишите соответствующий член исходного ряда. Написали. Модуль по краям. Написали. Оценивайте сверху на Вашем множестве. Чем точнее, тем лучше.

$\left\lvert \frac{(x-2)^{2n}}{n} \right\rvert \leqslant \frac{(\frac{1}{2})^{2n}}{n} \leqslant \frac{1}{{2}^{2n}n}$

Вот так? Последнее выражение и будет общим членом мажорирующего ряда?

[ИСН]

Если ограничиться $1\over2^{2n}$, уже будет хорошо.