Когда 4 точки на параболе лежат на окружности

[pooh__]

Собственно
Доказать, что для того, чтобы четыре точки параболы $y = kx^2$ лежали
на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы сумма абсцисс этих
точек была равна нулю.

Мучал-мучал, но ничего дельного не получил.
Заметил, что если подставить в уравнение окружности $y = kx^2$, то сумма абсцисс равна нулю, значит $1=2kb$ где $b$ это ордината центра. Можно строить огромные уравнения конешн, но что-то не хочется, надеюсь есть путь по проще.
P.S
Кажется добился некоторого просветления.
Рассматриваю уравнение на конику прох через эти 4 точки, т.к константа не нулевая, то делим на нее и получаем системку на 4 неизвестных с 4 уравнениями. Может что-то получится.
Хотя думаю есть более красивое решение.

[levtsn]

ясно что в четыре точки симметричные относительно линии можно вписать как параболу так и окружность.
не люблю математику за это.
простейший тупейший никчемнейший вопрос, а доказывают 150 лет.
возмем точки с абсциссой 0, 2, -1 и -1.
если раздвигать точки 1 и 1 в разные стороны, то они двигаться будут по параболе а не по окружности.
поэтому тезис топика сомнителен? или как?
шайтаны.

[Xaositect]

pooh__ в сообщении #942090 писал(а):

Можно строить огромные уравнения конешн, но что-то не хочется

Ничего огромного там нет, надо подставить $y = kx^2$ в уравнение окружности и применить теорему Виета для полученного уравнения четвертой степени.

[pooh__]

Xaositect в сообщении #942110 писал(а):

pooh__ в сообщении #942090 писал(а):

Можно строить огромные уравнения конешн, но что-то не хочется

Ничего огромного там нет, надо подставить $y = kx^2$ в уравнение окружности и применить теорему Виета для полученного уравнения четвертой степени.

Ну собственно я с этого и начал. Но почему из равенства коэфицента при x^3 будет следовать, то что я могу подобрать нужные значения, чтоб корни были вещественные?

Вероятно все очень просто, но к вечеру уже не соображаю
P.S.
Ах кажется я все понял.
А сидел пол вечера трехэтажные выражения перебирал><

[Xaositect]

У нас же по условию есть четыре корня. Если точек пересечения не хватает, то и утверждение неверно.

[pooh__]

Спасибо!

-- 08.12.2014, 00:21 --

Правда одного не понял. Если в другую сторону. Т.е. таки у нас четыре точки на параболе с нужной суммой, то как отсюда показать, что есть окружность?
Так же из виета получаются просто?

[takeover]

Подумайте, сколько точек достаточно чтобы построить окружность и при каких условиях.