Декартово произведение. Теория множеств.

[Diletant111]

Приветствую всех. Хотелось бы разобраться с некоторыми вопросами. Заодно проверьте формально-математическую запись некоторых решений.

1) Известно, что $\left| A\times B \right| =49$. Множество $B$ увеличили на три элемента. Получили множество $B'$. Найдите $\left| A\times B' \right| $ , если $A$ и $B$ — не синглетоны.

$$|A|\neq 1, |B| \neq 1\therefore |A| = 7, |B| = 7 \Rightarrow |B'|=10 \therefore \left| A\times B' \right| = 70.\\$$

2) Декартово произведение множеств $A$ и $B$ содержит $12$ элементов. Известно, что $A=\left\{ a,b,c \right\} $; $A\cap B=\emptyset $. Найдите число собственных подмножеств множества $B$.
Вот тут небольшой напряг. Исходя из того, что пересечения множеств $A$ и $B$ пусто, следовательно, $B$ имеет четыре отличные от $A$ элемента. Следовательно, всевозможные комбинации, кроме пустого множества и собственно самого $B$, этих элементов и есть количество собственных подмножеств? $35$ что ли?

3)Даны множества $A, B, C$. Известно, что $A\subset B\subset C, \quad A\neq \emptyset,\quad \left| A\cup B\cup C \right| =3.\quad \left| B\times \left( \bar { B } \cap C \right) \right| -?,\quad |A|,|B|,|C|-?$.
Поскольку C множеств всех подмножество, следовательно, уже можно дать ответ, что $|C| = 3$. Что можно сделать дальше?

[provincialka]

1) правильно, разве что значок троеточия необщепринятый
2) Уже условие непонятно. Какая разница, пересекаются $A$ и $B$, или нет? Число 35 тоже странное. То есть с пустым и самим собой будет 37?
Не уверена, что пустое подмножество не является "собственным", но тут вопрос терминологии.

[Diletant111]

provincialka в сообщении #941861 писал(а):

2) Уже условие непонятно. Какая разница, пересекаются $A$ и $B$, или нет? Число 35 тоже странное. То есть с пустым и самим собой будет 37?
Не уверена, что пустое подмножество не является "собственным", но тут вопрос терминологии.

Я думаю, пересечение дано, чтобы дать понять, что элементы множества $B$ отличны от $A$. Другого объяснения я дать не могу. Число $35$ я получил путем сочетания с повторениями. Если иметь в виду еще и пустое множество и $B$, то будет не $37$, а$ 462$ --- это, я так понимаю, количество всевозможных вообще комбинаций элементов множества $B$. Хотя да, тут же можно поставить вопрос: надо ли учесть пустое множество? В общем, запутался я, нужна ваша помощь.

[provincialka]

Diletant111 в сообщении #941879 писал(а):

Я думаю, пересечение дано, чтобы дать понять, что элементы множества $B$ отличны от $A$

И зачем нам это знать? Если дальше нас спрашивают только про $B$.
Вы сделайте по-простому: возьмите и выпишете все подмножества множества из 4 элементов. Их не так много.
Если 4 много - возьмите трехэлементное множество.
Это куда лучше,чем запоминать очередную готовую формулу.

-- 07.12.2014, 17:43 --

Diletant111 в сообщении #941853 писал(а):

Поскольку C множеств всех подмножество,

В смысле? По-моему, вы не это хотели сказать.

-- 07.12.2014, 17:47 --

Решение третьей задачи зависит от того, как понимается знак $\subset$ - как допускающий равенство, или нет. Я привыкла считать, что всегда $A\subset A$. Но, похоже, у вас для этого случая используется значок $\subseteq$.

[ИСН]

Diletant111 в сообщении #941879 писал(а):

Если иметь в виду еще и пустое множество и $B$, то будет не $37$, а$ 462$

Перечислите, пожалуйста, хотя бы первые 20.

[arseniiv]

Diletant111 в сообщении #941853 писал(а):

следовательно, $B$ имеет четыре отличные от $A$ элемента

Почему четыре? Где сказано, что $a\ne b\ne c\ne a$? $A$ может иметь и два элемента, и один!

[provincialka]

arseniiv, ну, это вы уж перегнули! Я вот вижу, что разные. У буквы $b$ хвостик, а буква $c$ незамкнута.

[Diletant111]

ИСН в сообщении #941890 писал(а):

Перечислите, пожалуйста, хотя бы первые 20.

d, e, f, g, de, ed, fd, df, gf, fg, ef, fe, fed, def, fde, gfd, fgd, fed, ... --- все эти элементы образуют собственные подмножества, но вопрос теперь в другом: пустое множество является несобственным подмножеством, верно? И да, я ошибся, не 462, а 37, как верно заметила provincialka. Единственное собственное подмножество множества $B$ --- это как рак-таки эти четыре элемента $B=\left\{ d,e,f,g \right\} $.

-- 07.12.2014, 20:45 --

arseniiv в сообщении #941944 писал(а):

Почему четыре? Где сказано, что $a\ne b\ne c\ne a$? $A$ может иметь и два элемента, и один!

Да, интересное замечание. Такого в условии нет, но я думаю такое уже предполагалось.

[provincialka]

Diletant111, множества $de$ и $ed$ или, вернее $\{d,e\}$ и $\{e,d\}$ совпадают. Порядок элементов в множестве не учитывается.

[Diletant111]

provincialka в сообщении #941953 писал(а):

Diletant111, множества $de$ и $ed$ или, вернее $\{d,e\}$ и $\{e,d\}$ совпадают. Порядок элементов в множестве не учитывается.

Да? Этого я не знал, моя ошибка. В таком случае, ответ $4! = 24$

[provincialka]

Нет. Это тоже много. Причем тут факториал? С его помощью как раз считают перестановки. А мы их игнорируем.

[Diletant111]

provincialka в сообщении #941962 писал(а):

Нет. Это тоже много. Причем тут факториал? С его помощью как раз считают перестановки. А мы их игнорируем.

Да, снова Вы правы. Тогда только вручную: $d, e, f, g, de, df, dg, ef, eg, fg, def, deg, feg$ --- $13$.

[provincialka]

Оформляйте формулы правильно, а то в Карантин унесут.

Недосчитались чего-то. Постарайтесь быть последовательным. Как, например, перечислить все трехэлементные множества и не пропустить ни одного? Кстати, ответ будет гораздо красивее, если рассматривать не "несобственные" подмножества, а все.

А вы знаете, как обозначается множество всех подмножеств множества $X$? Так: $2^X$. Странное обозначение, правда?

[Diletant111]

provincialka в сообщении #941967 писал(а):

Недосчитались чего-то. Постарайтесь быть последовательным. Как, например, перечислить все трехэлементные множества и не пропустить ни одного? Кстати, ответ будет гораздо красивее, если рассматривать не "несобственные" подмножества, а все.

$8$. Но это с учетом пустого множества и несобственного подмножества.

provincialka в сообщении #941967 писал(а):

А вы знаете, как обозначается множество всех подмножеств множества $X$? Так: $2^X$. Странное обозначение, правда?

Действительно. Значит, ответ $15$ --- $15$ собственных подмножеств.

[provincialka]

Хм, 8 - это что? Трехэлементных множеств 4 (в каждом "недостает" какого-то одного элемента из четырех). А вот как бы найти общую формулу?
Сколько всего будет подмножеств в четырехэлементном множестве? В трехэлементном?

(Оффтоп)

Вы думаете, я зря вам про обозначение сказала?