Векторное пространство над конечным полем

[Viktor92]

Здравствуйте. Есть такие 3 задачки, которые очевидно похожи по способу решения и имеют важный смысл для понимания предмета:
1).Найти число векторов $n$-мерного векторного пространства над конечным полем из $q$ элементов.
2).Найти число базисов $n$-мерного векторного пространства надо полем из $q$ элементов.
3).Найти число $k$-мерных подпространств n-мерного векторного пространства над полем из $q$ элементов.
Подскажите, как к ним подступиться. Рассматривать общий случай или искать решения для какого-то частного случая, а потом распространить его на всевозможные $n$ и $q$. Да и проблема с представление конечного поля, ни одного примера такого поля найти не удалось.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Оформляйте все формулы и термы с помощью $\TeX$.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

Часть вопросов из этой темы уже поднималась здесь неоднократно. Если лень ждать - можете поискать и найти для себя много подсказок.

[AV_77]

Viktor92 в сообщении #941131 писал(а):

Да и проблема с представление конечного поля, ни одного примера такого поля найти не удалось.

Пусть $p$ - простое число. Тогда $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ - конечное поле из $p$ элементов.

[Nurzery[Rhymes]]

Viktor92 в сообщении #941131 писал(а):

Здравствуйте. Есть такие 3 задачки, которые очевидно похожи по способу решения и имеют важный смысл для понимания предмета:
1).Найти число векторов $n$-мерного векторного пространства над конечным полем из $q$ элементов.

Мне кажется, здесь нужна какая-то комбинаторная формула. Имеем $q$ элементов поля, которые надо распределить по $n$ мест для координат вектора. Вектор - это упорядоченный набор элементов поля, при этом разрешены повторения элементов. Значит, надо найти количество размещений с повторениями из $q$ элементов по $n$, оно равно $q^n$.

[Yhn112]

Как я понимаю, все три задачи - полностью комбинаторные. Знания линейной алгебры требуются максимум в рамках понимания того, что такое подпространство и базис.