2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:44 
в зависимости от параметра $\alpha$

$\sum^{\infty}_{n=0} {\frac {(-1)^n } {n^\alpha + (-1)^{n-1}}}$

Посоветуйте как подступиться к решению.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:47 
Аватара пользователя
Сравните с $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha}$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:48 
Аватара пользователя
Для начала, сесть и отметить на числовой прямой те области, где Вам всё понятно без заумных методов. Наверное, $\alpha=100$ или $\alpha=-100$ принадлежат к таковым областям.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:54 
я бы сказал, при $\alpha < 0$ расходится (нарушение необх. условия)
при $\alpha = 0$ тоже расходится? (или можем не рассматривать эту точку)
а при $\alpha \geqslant 2$ сходится

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:54 
Аватара пользователя
Dan B-Yallay в сообщении #940927 писал(а):
Сравните с $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^\alpha}$
Это для абсолютной сходимости. "Соль" примера именно в условной.

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:55 
а вот с условной-то сложнее, мне только признак Лейбница приходит на ум

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 22:58 
Аватара пользователя
shukshin в сообщении #940933 писал(а):
а при $\alpha \geqslant 2$ сходится
Это уж очень "сильно". Почему именно 2?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:00 
Аватара пользователя
Признак сходимости знакоперененного ряда (он же Лейбница. )

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:02 
Аватара пользователя
Лейбниц здесь не подходит, нет монотонности.

shukshin, а вы бы выписали несколько слагаемых, без знака $\Sigma$. Поглядите на них. Может, что и придет на ум.

Для простоты возьмите $\alpha=1$ и $\alpha=1/2$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:05 
2 т.к. по модулю оценил

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:06 
Аватара пользователя
Чем оценили, нельзя ли оптимизировать и прихватить ещё какие-то значения?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:13 
еще $\alpha > 1$ все, понял.
оценил $\  \leqslant \frac {1} {n^\alpha - 1}$

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:14 
Аватара пользователя
Отлично. А что для меньших или равных 1?

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:16 
Аватара пользователя
Ага, теперь самое интересное...

 
 
 
 Re: Исследовать сходимость ряда
Сообщение05.12.2014, 23:26 
ну если $\alpha = 1$, то так выходит
для четных и нечетных?
$\sum_{n = 1}^n {\frac {1} {2n - 1} + \frac {1} {2n}}$

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group