Топология числовой прямой

[greg2]

Доброго времени суток.

Правильно ли я понимаю понятие стандартной топологии числовой прямой?
Базой топологии является система множеств $\lbrace (a,b) : a,b \in \mathbb{R} \rbrace$, то есть все открытые интервалы. Так как открытым множеством считается объединение любого семейства множеств и пересечение конечного количества множеств из этой топологии, тогда $\cup_{n=3}^{+\infty} (1+1/n, 2-1/n)=[1,2] \in (\mathbb{R}, \tau)$, а пересекая множества вида закрытого интервала получаем и все одноточечные множества.

[grizzly]

greg2 в сообщении #940653 писал(а):

Правильно ли я понимаю понятие стандартной топологии числовой прямой?

Что-то говорите правильно, но не понимаете.

Бесконечное объединение указанных интервалов никогда не может дать замкнутый отрезок (ведь все интервалы задают базу). Убедитесь, что точка 1 не войдёт ни в одно из объединяемых множеств, а следовательно, и во всё объединение.

[VanD]

Мне больше нравится, когда база топологии счетна. Для этого можно взять только интервалы с рациональными концами. У Вас 1 не попала, например, ни в один из рассматриваемых интервалов. Так откуда она в их объединении возьмется?)

[Legioner93]

С объединением у вас конечно ляпсус вышел.
А вот "наоборот" такой фокус проходит. Покажите, что $\tau_{(a, b)}\varsubsetneq\tau_{[a, b)}$