Строгое обоснование анализа

[stef]

Часто приходится слышать утверждение, будто бы строгий смысл понятиям предела и непрерывности придал О. Л. Коши: это цитируется в Википедии, да и само определение называется "пределом по Коши". Однако, заглянув в его курс анализа, я увидел типичные для того времени рассуждения с логическими погрешностями. Определение предела там разглядеть можно: "Ежели величины, приписываемые какому-либо переменному количеству, приближаются более и более к величине определённой, так что наконец разнствуют от оной столь мало, сколько угодно, то сия последняя величина называется пределом всех прочих". ("Краткое изложение уроков ...", перевод Буняковского, издание 1831 года). Довольно спорно, совпадает ли это с определением по Коши в нашем смысле, но согласиться с этим ещё можно. Во второй же главе следует странная фраза: "Ежели функция $f(x)$ изменяется с величиной $x$ таким образом, что для каждого значения сей изменяемой величины, заключающейся в данных пределах, он имеет одну совершенно определённую величину, тогда разность $f(x+i)-f(x)$ между пределами величины $x$ будет количество бесконечно-малое; функция же $f(x)$, удовлетворяющая сему условию, называется между теми пределами непрерывной функцией изменяемой $x$". На свойствах непрерывных функций Коши, кажется, нигде далеее не останавливается. Вопрос: занимался ли он развитием своих определений в других работах или эта заслуга полностью лежит на математиках следующего поколения (Дедекинде, Вейерштрассе)?

[Xaositect]

Современные определения действительно появляются у Вейерштрасса, некоторые историки читают Коши и видят их, но на самом деле у него некий переходный вариант - для определения используются бесконечно малые величины, но для решения вопросов часто исследуются бесконечно малые последовательности. Вот тут интересный текст по поводу бесконечно малых у Коши: http://arxiv.org/abs/1108.2885

[ewert]

stef в сообщении #939808 писал(а):

На свойствах непрерывных функций Коши, кажется, нигде далеее не останавливается.

Он и не мог. Его гениальность заключалась в том, что он умудрился пунктиром начертать некие ключевые утверждения, необходимые для дальнейшего развития теории. И он не уникален в этом отношении. Скажем, Ньютон тоже не имел ни малейшего понятия (строго говоря) о том, что такое вещественное число -- у него были лишь смутные предчувствия; но это ему ни разу не помешало. Про Эйлера я уж и не говорю.

[stef]

Просто не зря же мы называем одно из этих свойств "теоремой Больцано-Коши"? В "Кратком изложении уроков ..." она явно выписана и используется, просто не упомянуто, что это теорема, и что её нужно доказывать. Ведь не был же Коши первым, кто обратил внимание на тот факт, что функция имеет корень на отрезке, если на концах имеет разные знаки? Или раньше даже не догадывались, что можно и нужно выделять функции, претерпевающие разрыв, а он первым (пусть нестрого) постарался в этом вопросе разобраться?

[ewert]

stef в сообщении #939995 писал(а):

Ведь не был же Коши первым, кто обратил внимание на тот факт, что функция имеет корень на отрезке, если на концах имеет разные знаки?

Наверняка нет. Но он был, видимо, первым, кто сконцентрировал весь корпус подобных утверждений. За что и заслужил славу (и вполне заслуженно).

-- Чт дек 04, 2014 00:59:55 --

(Оффтоп)

Вот для сравнения. Попыток аксиоматизации теории вероятностей было вроде как много. А слава досталась одному Колмогорову. С чего бы это вдруг?...

[stef]

И ещё небольшой вопрос: изданы ли лекции Вейерштрасса в русском (или хотя бы английском) переводе? Не то чтобы я сомневаюсь и в его определениях, просто некоторые нюансы исторического развития не прочь для себя выяснить.

[Xaositect]

stef в сообщении #940004 писал(а):

И ещё небольшой вопрос: изданы ли лекции Вейерштрасса в русском (или хотя бы английском) переводе? Не то чтобы я сомневаюсь и в его определениях, просто некоторые нюансы исторического развития не прочь для себя выяснить.

Похоже нет. Боюсь, если интересуетесь историей математики, придется научиться читать немецкий и французский со словарем. Если формулы есть, это не очень сложно.