Устойчивость по Ляпунову

[MestnyBomzh]

Добрый день! Не могли бы Вы проверить, верно ли я рассуждаю для такой задачи: Нужно выяснить, устойчиво ли нулевое решение системы

$$\begin{cases} & \dot{x}=-x \\\ & \dot{y}=-2y \end{cases}$$

Решил систему:

$$\begin{cases} & x(t) = C_1 e^{-t} \\\ & y(t) = C_2 e^{-2t} \end{cases}$$

Тогда нулевое решение: $x(t) = 0, y(t) = 0$. Это решение не устойчиво, так как параметр $t$ пробегает все значения, в частности, при $t \to - \infty$ видим, что $x(t) \to \infty, y(t) \to \infty$. А значит, каждое решение не ограничено, значит нулевое решение не устойчиво

[ИСН]

Довольно странно рассматривать устойчивость назад по времени.

[MestnyBomzh]

Хмм, думаете, $t$ с нуля начинается?

[ИСН]

Не знаю, я не читал определения.

[MestnyBomzh]

В Филиппове написано: при всех $t >t_0$, причем наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора $t_0$. Видимо, $t_0$ должно быть конечным

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #940355 писал(а):

В Филиппове написано: при всех $t >t_0$,

Что при всех $t >t_0$?

[MestnyBomzh]

Otta
Рассмотри систему уравнений $\frac{dx_i}{dt}=f_i(t, x_1, ..., x_n), i= 1 ....n$ или в векторном виде: $\frac{dx}{dt}=f(t,x), x=(x_1...x_n)$ (2) Пусть все $f_i, \frac{df_i}{dx_k}$ непрерывны при $t_0 \leq < \infty$.Решение $x= \varphi(t) $ системы (2) называется устойчивым по Ляпунцову, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, что для всякого решения $x(t)$ той же системы, начальное значение которого удовлетворяет неравенству $|x(t_0) - \varphi(t_0)| < \delta$ при всех $t \geq t_0$ выполняется неравенство: $|x(t) - \varphi(t)| < \varepsilon$. Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора $t_0$

[VanD]

Ещё как устойчиво оно. Асимпототически).
Время-то идет в "положительном" направлении в определении.

[Otta]

MestnyBomzh в сообщении #940384 писал(а):

Рассмотри систему уравнений $\frac{dx_i}{dt}=f_i(t, x_1, ..., x_n), i= 1 ....n$
.....

Это все здорово, но как это выглядит в Вашем случае?

[MestnyBomzh]

Да, оно устойчиво. Я обЪяснил это так: $t_0 = 0, t \geq 0$. Тогда у нас есть точка $(c_1,c_2)$ и от нее решение стремятся к началу координат по экспоненте. Тогда для каждого данного $\varepsilon > 0$ возьмем $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$. Тогда каждое решение с начальным условием, лежащим в промежутке $[-\delta; \delta]$ по модулю будет ограничено $\varepsilon$

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #940601 писал(а):

возьмем $\delta = \frac{\varepsilon}{2}$.

Не нужно пополам. Поскольку решение векторнозначное -- и начальные данные, и значения решения в каждый момент времени следует оценивать по какой-либо норме. Ну так эта норма просто монотонно убывает.