Проективная специальная линейная группа

[Felt]

Вопрос, не понимаю в чём смысл обозначенной в теме группы. Если специальная линейная группа это группа невырожденных матриц с определителем равным единице, то подгруппа скалярных матриц специальной линейной группы - тривиальная подгруппа. В таком случае проективная специальная линейная группа как фактор-группа по тривиальной группе сама есть специальная линейная группа. Зачем тогда вводить это понятие?

В случае же с полной линейной группой вроде бы все понятно, элементы проективной группы можем описать как $Span \lbrace x \rbrace$ где $x \in GL_n (K)$

[Xaositect]

Для четной размерности $-E$ тоже имеет определитель 1.

К тому же, линейные группы рассматриваются ведь не только над $\mathbb{R}$. Над комплексными числах всегда центр будет нетривиальным, над конечными полями тоже может быть.