Найти углы между векторами

[Lina_Vls]

Зная векторы, совпадающие с сторонами треугольника $\vec{AB} = (2;1;-2)$ и $\vec{BC} = (3;3;6)$ , вычислить углы этого треугольника?

Решение: По формуле вычисления угла между векторами
$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{\left\lvert \vec{AB} \right\rvert \cdot \left\lvert \vec{BC} \right\rvert}$
найду угол между векторами


Нахожу скалярное произведение векторов:
$ \vec{AB} \cdot \vec{BC}= 2 \cdot 3 +1 \cdot 2 + (-2) \cdot 6 = 6+2-12 = -4 $.

Найду модули векторов:
$ \vec{AB} = \sqrt{4+1+4} = 3 $
$ \vec{BC} = \sqrt{9+4+12} = 5 $

Соответственно, косинус угла между векторами
$\cos \alpha = \frac{-4}{3 \cdot 5} = \frac{-4}{15}$
$\alpha = arccos (\frac{-4}{15})$

Скажите, пожалуйста, в каком порядке действовать дальше. Что мне нужно сделать, чтобы найти два других угла треугольника?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[ИСН]

Теперь с другими двумями углами то же самое.

[provincialka]

А вы можете по этим данным найти вектор $\overrightarrow{AC}$?

[12d3]

Обратите внимание, какой именно угол вы посчитали. Будет ли он углом в треугольнике?

[Lina_Vls]

ИСН в сообщении #939483 писал(а):

Теперь с другими двумями углами то же самое.

То есть $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (2+3;1+2;6-2) = (5;3;4) $

Отсюда,

Скалярные произведения:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 10+3-8 = 5 $
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = 15+6+24 = 45 $

Далее, модуль вектора:
$\left\lvert \vec{AC} \right\rvert = \sqrt{25+9+16} = \sqrt{50}=5\cdot\sqrt{2}$

Далее, по главной формуле нахождения углов:

$\cos\varphi = \frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{\left\lvert\vec{AB}\right\rvert\cdot \left\lvert \vec{AC}\right\rvert}$ - косинус угла между векторами AB и AC

$\cos\varphi = \frac{1}{3\cdot\sqrt{2}} $

$\cos\varphi1 = \frac{\vec{BC}\cdot \vec{AC}}{\left\lvert\vec{BC}\right\rvert\cdot \left\lvert \vec{AC}\right\rvert}$ - косинус угла между векторами BC и AC

$\cos\varphi1 = \frac{3}{\sqrt{2}} $


то есть :
$ \arccos ( \frac{1}{3\cdot\sqrt{2}}) $ - угол между векторами AB и AC
$ \arccos ( \frac{3}{\sqrt{2}}) $ - угол между векторами BCи AC
$ \arccos ( \frac{-4}{15}) $ - угол между векторами AB и BC.

Так?

-- 03.12.2014, 14:40 --

12d3 в сообщении #939504 писал(а):

Обратите внимание, какой именно угол вы посчитали. Будет ли он углом в треугольнике?

Я построила эти векторы по координатам. Я понимаю, угол АВС - есть угол между векторами АВ и ВС. Или я ошибаюсь?

[ИСН]

Lina_Vls в сообщении #939529 писал(а):

Я понимаю, угол АВС - есть угол между векторами АВ и ВС. Или я ошибаюсь?

Что тогда такое угол между BA и BC?
Также вызывает беспокойство значение косинуса, превосходящее 2.

[Lina_Vls]

ИСН в сообщении #939531 писал(а):

Lina_Vls в сообщении #939529 писал(а):

Я понимаю, угол АВС - есть угол между векторами АВ и ВС. Или я ошибаюсь?

Что тогда такое угол между BA и BC?
Также вызывает беспокойство значение косинуса, превосходящее 2.

Что тогда такое угол между BA и BC? - Внешний угол треугольника при построении обратного вектора на продолжении стороны CB?
Теперь я вовсе запуталась. Не могу найти в интернете подходящую литературу. Направьте меня пожалуйста на теорию.

[provincialka]

ИСН, не путайте вы девушку. Угол $ABC$ есть угол между векторами $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$

[ИСН]

А я что? Я просто спросил.

[provincialka]

(ИСН)

ИСН в сообщении #939546 писал(а):

А я что? Я просто спросил.

Я представляю, ЧТО после наших "просто вопросов" делается у студентов в голове... Буря в пустыне.

[ИСН]

(Оффтоп)

Лучше так, чем спокойствие в пустыне, под конец ещё и украшенное дипломом.
Пусть сильнее грянет буря!

[Lina_Vls]

provincialka в сообщении #939543 писал(а):

ИСН, не путайте вы девушку. Угол $ABC$ есть угол между векторами $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$

Из этого мне следует найти координаты противоположных векторов, из того что:

Угол $ACB$ есть угол между векторами $\overrightarrow{CA}$ и $\overrightarrow{CB}$[/quote]

Угол $BAC$ есть угол между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$[/quote]

и далее по известной формуле произвести расчеты?

[ИСН]

Да, так.