Преобразование ПДСК в пространстве

[fronnya]

Читал эту тему в учебнике "Аналитическая геометрия, Ильин, Позняк" и немножко не понял кое чего.
Вот до момента введения углов Эйлера было все ясно. Итак, в получившихся преобразованиях

$$\begin{cases} x=a+\alpha_{11} x'+\alpha_{21}y'+\alpha_{31}z'\\ y=b+\alpha_{12} x'+\alpha_{22}y'+\alpha_{32}z'\\ z=c+\alpha_{13} x'+\alpha_{23}y'+\alpha_{33}z' \end{cases}$$

Нужно вычислить эти "альфы" (вот ещё, кстати, вопрос: как эта система выглядит в компактной записи?). Вводится ось $Ou$ вдоль линии пересечения плоскостей $Oxy$ и $Ox'y'$. Да, кстати, авторы положили расстояния $a,b,c$ равными нулю. Далее вводятся углы, называемые углами Эйлера:

$$\theta=(\overset {\wedge}{Oz,Oz'})$$

$$\psi=(\overset {\wedge}{Ox,Ou})$$

$$\varphi=(\overset {\wedge}{Ox',Ou})$$

Далее говорится, что переход к штрихованных координатам осуществим в 3 этапа:
1) Поворот СК на угол $\psi$ вокруг оси $Oz$
2)Поворот СК на угол $\theta$ вокруг оси $Ox$
3) Поворот Ск на угол $\varphi$ вокруг оси $Oz$
Вот именно эти повороты мне не очень понятны. А именно второй и третий. Судя по их рисункам, на втором этапе они провернули не всю систему координат, а только оси $y$ и $z$. И записано вот такое преобразование:

$$\begin {cases} x_1=x_2\\ y_1=y_2\cos\theta-z_2 \sin\theta\\ z_1=y_2\sin\theta+z_2\cos\theta \end{cases}$$

А вот после этого мне автоматически не понятен и третий этап.


В итоге я хочу задать два вопроса:
1)каким образом сделано преобразование на втором этапе?
2)как будет выглядеть самая первая система в этом посте в компактном виде?
Вот.

[Ms-dos4]

1)Поворот то делается в плоскости, перпендикулярной к одной из осей. Во втором случае это ось$ \[O{x_1}\]$.
2)Можно так например $\[{r_i} = {\alpha _{ji}}{r_j}'\]$ (по повторяющимся индексам сумма, $\[a = b = c = 0\]$)

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #938374 писал(а):

1)Поворот то делается в плоскости, перпендикулярной к одной из осей. Во втором случае это ось$ \[O{x_1}\]$.
2)Можно так например $\[{r_i} = {\alpha _{ji}}{r_j}'\]$ (по повторяющимся индексам сумма, $\[a = b = c = 0\]$)

А вот в $r'$ можно взять индекс $i$? Ведь это тут не важно ? Лишь бы индексы повторялись ?

-- 30.11.2014, 15:14 --

Это мы как бы "опустили" СК? Я все равно не понимаю, почему $x$ не изменился

[Ms-dos4]

fronnya
1)Нельзя. Ну или придётся переобозначать все индексы. Вы сами приглядитесь, то как стоят индексы у вас в первом сообщении.
2)Вот летит у вас самолёт вдоль оси $\[O{x_1}\]$ и выполняет крен на крыло. Что, направление полёта поменялось?

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #938402 писал(а):

fronnya
1)Нельзя. Ну или придётся переобозначать все индексы. Вы сами приглядитесь, то как стоят индексы у вас в первом сообщении.
2)Вот летит у вас самолёт вдоль оси $\[O{x_1}\]$ и выполняет крен на крыло. Что, направление полёта поменялось?

Ааааааа, так вот, как они поворачивают, спасибо)

-- 30.11.2014, 17:39 --

На счет индексов тоже ясно.

[Munin]

fronnya в сообщении #938343 писал(а):

Вот до момента введения углов Эйлера было все ясно.

Углы Эйлера - муторная штука. Я без них прожил уже не первый десяток лет, практически никогда не понадобились, а когда были нужны, под рукой были справочники.

Главное - понять общую идею вращений в пространстве. Посмотреть на матрицы вокруг произвольной оси, на произведения матриц. Помнить порядок умножения, что стоит, а что вертится. А Эйлер... вертись он в гробу.

[fronnya]

Munin в сообщении #938515 писал(а):

fronnya в сообщении #938343 писал(а):

Вот до момента введения углов Эйлера было все ясно.

Углы Эйлера - муторная штука. Я без них прожил уже не первый десяток лет, практически никогда не понадобились, а когда были нужны, под рукой были справочники.

Главное - понять общую идею вращений в пространстве. Посмотреть на матрицы вокруг произвольной оси, на произведения матриц. Помнить порядок умножения, что стоит, а что вертится. А Эйлер... вертись он в гробу.

Почему Эйлера так не любят? И подстановки его не любят... То есть, с помощью тензоров проще получить преобразования?

[Munin]

fronnya в сообщении #938670 писал(а):

Почему Эйлера так не любят?

Я не говорю, что я не люблю Эйлера. Я не люблю конкретно углы Эйлера. А вот введённую им, например, функцию $e^z$ - наоборот, очень люблю.

fronnya в сообщении #938670 писал(а):

То есть, с помощью тензоров проще получить преобразования?

Совершенно не понял этой фразы. Как вообще с помощью тензоров получают преобразования? Это что-то мне неизвестное.