Интеграл от иррациональной ф-ии

[z3ifOqAT]

Почему-то integrals.wolfram.com при решении простого интеграла выдает следующий результат:

$$\int\limits_{}^{}1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}dx = \log(2(\sqrt{x^2+y^2+z^2}+x))$$

[url]http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1%2F+Sqrt%28x^2%2By^2%2Bz^2%29&random=false[[/url]
При решении того же самого в MathLab R2013a получается похожее выражение:

Используется синтаксис Matlab M

syms x y z
int( 1/(sqrt(x^2+y^2+z^2)) )
 

$$\int\limits_{}^{}1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}dx = \log((\sqrt{x^2+y^2+z^2}+x))$$

У M.Abramowitz и I.A.Stegun (формула (3.3.40) на стр. 13) тоже написано:

$$\int\limits_{}^{}1/\sqrt{x^2 \pm a^2}dx = \log(|\sqrt{x^2 \pm a^2}+x|)$$

Смотрел в книжке 72го года, исправленной. Известно, что это может выглядеть также и таким образом:

$$\int\limits_{}^{}1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}dx = arsinh(x/\sqrt{ (y^2+z^2)})$$

Этот результат можно, например, получить в SymPy:

Используется синтаксис Python

#!/bin/python$
from sympy import *
x, y, z, a = symbols( 'x, y, z, a' )
genvar = integrate( 1 / sqrt( z**2 + y**2 + x**2 ), x )
pprint( simplify( genvar ) )
 

Кто-нибудь может объяснить, что за результаты в первых двух случаях и как их связать с третьим? Или это то же самое, что 2 различных решения у дифура? Я знаю про связь arsinh с ln, но там все равно выходит, что часть пропущена:

$$\int\limits_{}^{}1/\sqrt{x^2+y^2+z^2}dx = \log(x+\sqrt{x^2+y^2+z^2}) - \log(\sqrt{y^2+z^2})$$

-- 30.11.2014, 18:07 --

Забыл указать https://en.wikipedia.org/wiki/Abramowitz_and_Stegun

-- 30.11.2014, 18:11 --

Ссылка на wolfram немного кривая получилась.

[Otta]

z3ifOqAT в сообщении #938421 писал(а):

Кто-нибудь может объяснить, что за результаты в первых двух случаях и как их связать с третьим? Или это то же самое, что 2 различных решения у дифура?

Да, конечно. Если по-хорошему, в каждой правой части должна быть добавлена константа $C(y,z)$, но в записях таких ответов их часто опускают. Что и приводит к.

[z3ifOqAT]

Ясно. Спасибо.