Эквипотенциальная поверхность

[Katmandu]

Задача:
Металлический шар радиуса $R_0$ заряжен до потенциала $\varphi_{0}$.
Найти радиус $R_1$ эквипотенциальной поверхности, имеющий потенциал $\varphi_1 = 0.5\varphi_0$ и работу $A$, необходимую для перемещения заряда $q_1$ из этой эквипотенциальной поверхности до поверхности шара.


Не прошу решать за меня эту задачу. Я хочу узнать, правильно ли я рассуждаю.
А если нет, то в какой теме мне нужно разобраться.

Итак.
Потенциал шара равен:
$ \varphi_0 = \dfrac {q} {4 \pi\varepsilon} \dfrac {1} {R_0}$

Эквипотенциальная поверхность из каких-то моих соображений является сферической поверхностью.
Тогда можно записать
$ \varphi_1 = \dfrac {q} {4 \pi\varepsilon} \dfrac {1} {R_1}$
или подставляя вместо $\varphi_1 $ $\varphi_0$ получается:
$ \varphi_0 = \dfrac {q} {2 \pi\varepsilon} \dfrac {1} {R_1}$

Тогда и видно, что $R_1 = 2R_0$


Теперь работа. Выберем две точки, точка $a$ на экв.поверхности, и точка $b$ на поверхности шара.
Работа выполняется только тогда, когда путь идет по радиусу.
$A = q_1\int_{b}^{a}{(\vec{E},\vec{n})ds} = q_1\dfrac{q} {4\pi\varepsilon} \int_b^a \dfrac{dr}{r^2} = q_1\dfrac{q} {4\pi\varepsilon} (\dfrac {1} {r_b} - \dfrac {1} {r_a}) = q_1\dfrac{q} {4\pi\varepsilon} (\dfrac {2} {2R_0} - \dfrac {1} {2R_0}) = q_1\dfrac{q} {8\pi\varepsilon R_0} $


вообще говоря
$q = \sigma S = 4\sigma\pi R_0^2$

подставляя q получается
$ A = \dfrac {q_1 \sigma R_0} {2 \varepsilon}$

[Ms-dos4]

Вы каким то сложным путём пошли. Во первых, работа по перемещению заряда из точки 1 в 2 есть $\[A = q({\varphi _1} - {\varphi _2})\]$, этим потенциалы и удобны, интегрирование тут явно лишнее (к тому же вы в нём перепутали пределы). Задача то решается быстро, если на поверхности шара $\[{\varphi _2} = \frac{Q}{R}\]$ ($\[Q\]$ - заряд шара) то радиус искомой эквипотенциали $\[{\varphi _1} = \frac{Q}{{2R}}\]$. Тогда работа по перемещению пробного заряда $\[A = q(\frac{Q}{{2R}} - \frac{Q}{R}) = - q\frac{Q}{{2R}} = - q\frac{{{\varphi _2}}}{2}\]$.

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #937656 писал(а):

Во первых, работа по перемещению заряда из точки 1 в 2 есть $\[A = q({\varphi _1} - {\varphi _2})\]$, этим потенциалы и удобны

Это верно, если заряд мал (пробный). А здесь такого ограничения не наложено. Хотя, если внести этот заряд уже на эквипотенциальную поверхность, то потенциал изменится... Не знаю, мутноватая формулировка.

[romka_pomka]

Минуса нет перед интегралом работы, а также пределы интегрирования сначала перепутаны, а потом, когда в первообразную подставили, стали не перепутаны, а потом опять перепутаны - прикольно. Короче, тренируйтесь аккуратности вообще и четкости в обозначениях. А то у Вас сначала индекс "1", потом он уже "а", а следом он же "b" - не надо этого. Голову свою жалейте.

Если шар металлический, то заряды по нему бегать будут, подстраиваться под внешний, который принесенный. Методом отражений потенциал шара ищется. Но это для нормального заряда, а мелкие сильно на шар не влияют - на что именно нацелена Ваша задача? Если уровень ПТУ (первое знакомство с предметом), то не учитывайте изменения на шаре, а вообще, глобально - надо учесть.

[Ms-dos4]

Munin
А я и написал в конце, что работа именно по перемещению пробного заряда. Скорее всего это и имелось ввиду. Иначе нужно уточнять.