Изоморфизм групп

[ex-math]

Всегда полагал, что группы $(\mathbb{R},+)$ и $(\mathbb{R}^m,+)$ изоморфны. Изоморфизм можно установить, рассматривая $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^m$ как линейные пространства над $\mathbb{Q}$ и биекцию между их базисами Гамеля.

Однако вдруг натыкаюсь в книге Г.Д. Ким, Л.В. Крицков "Алгебра и аналитическая геометрия" на задачу 39.18: показать, что $(\mathbb{R},+)$ неизоморфна аддитивной группе матриц $\mathbb{R}^{n\times n}$ при $n\geqslant2$. Задача снабжена указанием:

Цитата:

Пусть существует изоморфизм $\varphi$ между этими группами. Тогда, так как $\varphi(0)=O$, то $\varphi(1)\equiv A\neq O$. Доказать, что в этом случае $\varphi(k)=kA$ для $\forall k\in\mathbb{Z}$ и $\varphi(p)=pA$ для $\forall p\in\mathbb{Q}$. Используя предельный переход, показать, что $\forall x\in\mathbb{R}$ изоморфизм действует по правилу$\varphi(x)=xA$.

Начиная со слов "используя предельный переход", мне категорически непонятно, что имел в виду автор. По-моему, тут зияющая дыра, тем более, что получается неверное утверждение. Но, не являясь специалистом по алгебре, могу что-то и упустить. Проконсультируйте, пожалуйста.

P.S. По этому задачнику сейчас учат на ВМК МГУ.

[Xaositect]

Изоморфны они, в задачнике ошибка.

[provincialka]

Если рассматривать только групповую структуру, какой же может быть "предельный переход"?

[ex-math]

Xaositect
Спасибо.
Есть там еще задача 16.50 про ранг матрицы. С верным утверждением, но неверным указанием.
Учитывая мое очень выборочное знакомство с задачником, многовато ошибок для хорошей книжки.

-- 28.11.2014, 21:31 --

provincialka
Вот и я недоумевал: что за ерунда?