Составить диффур по его решениям

[Nurzery[Rhymes]]

Готовлюсь к решений аналогичных заданий на контрольной. Номер на составление уравнений по его решению взял наугад из Филиппова: построить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами наименьшего порядка, которое имеет решение $y_1=e^{2x}\cos x$

Для начала вспомнил, что такое решение получается, если среди корней характеристического многочлена есть комплексные вида $\alpha \pm i\beta$. Тогда такому корню (для удобства возьмем со знаком "плюс") соответствует $y_0 = C_1 e^{\alpha x}\cos \beta x + C_2 e^{\alpha x}\sin \beta x$.

Стало быть, решению из условия соответствует характеристический корень $\lambda = 2 + i$. Но чтобы двигаться дальше, мне не хватает знаний. Что делать дальше?

[Legioner93]

Да неужто не хватает?
Какие вы можете назвать уравнения, одним из корней будет эта лямбда? Линейное можете? А квадратное?

-- Пт ноя 28, 2014 20:06:03 --

И сразу - какие диффуры соответствуют всем примерам, что вы напишете (если напишете)

[Nurzery[Rhymes]]

Legioner93 в сообщении #937532 писал(а):

Да неужто не хватает?
Какие вы можете назвать уравнения, одним из корней будет эта лямбда? Линейное можете? А квадратное?

Линейное может быть таким: $\lambda - (2+i)=0$. Я правильно понял намек?
Как составлять квадратное уравнение? Если, допустим, некоторое уравнение имеет такой корень, то оно раскладывается в произведение скобки $(\lambda - (2+i))$ на какую-то другую скобку. Домножим на комплексно сопряженное, чтобы уравнение стало с действительными коэффициентами?

И это все? По какому признаку определить, что дальше придумывать хар. уравнение не надо? Если получили ур-е без комплексных коэффициентов, то все, хватит?

[Legioner93]

По какому признаку?..
Ну смотрите, от вас просят "линейное однородное уравнение с постоянными (действительными) коэффициентами наименьшего порядка"
Понятно, что во всех линейных характеристических уравнениях, а значит и в соответствующих диффурах, будет $i$. Докажите это, если хотите. Для успокоения.
А диффур 2-го порядка с действительными коэффициентами у вас уже есть. Есть же? Что вам ещё надо тогда?
Между 1 и 2 натуральных чисел нет, так что требование минимальности порядка вы выполнили.

-- Пт ноя 28, 2014 20:17:28 --

Вы слишком глубоко копаете на пустом месте, на мой взгляд.
Посмотрите следующие номера в Филлипове на эту тему. Там есть задачи поинтереснее, и не только на составление линейных ОДУ.

[Nurzery[Rhymes]]

Значит, если в условии будет не одно решение, а два, то мы просто определяем два комплексно сопряженных корня, которые соответствуют этим решениями, их все перемножаем, и с помощью полученного уравнения составляем диффур?
Надо ли определять их линейную независимость, чтобы не делать лишнюю работу?

Цитата:

Вы слишком глубоко копаете на пустом месте, на мой взгляд.

Да, мне страшно нахватать долгов и потом мучиться во время сессии :(

[ИСН]

Все слова про меньший порядок - лишние. Решение $e^{2x}\cos x$ включает в себя оба сопряжённых корня. Оба - значит два. Два - значит второй порядок. Второй - значит второй. Это никак не меньше, чем второй.

-- менее минуты назад --

Все слова про два решения тоже лишние. Будет такая задача, тогда и приносите, разберёмся.

-- менее минуты назад --

Ладно, лишние только слова "комплексно сопряжённых" (неважно, с одним решением, с двумя ли - такая ситуация может возникнуть, а может и не возникнуть). Остальное более-менее по делу.