Поле бесконечно прямой линии.

[rustot]

в проекции на горизонталь $dE = \frac{dq}{(r/\cos(\alpha))^2} \cos(\alpha) = \frac{dq}{r^2}\cos(\alpha)^3$

если интегрировать по $dl$, то $\cos(\alpha) = \frac{r}{\sqrt{r^2+l^2}}$ и $dq = \lambda dl$

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\lambda r}{(r^2 + l^2)^{3/2}} dl = \frac{2\lambda}{r}$ (неопределенный $\frac{\lambda l}{r\sqrt{r^2 + l^2}}$)

если интегрировать по $d\alpha$, то $dq = \lambda dl = \frac{\lambda r d\alpha}{\cos(\alpha)^2}$

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda \cos(\alpha)}{r} d\alpha = \frac{2 \lambda}{r}$ (неопределенный $\frac{\lambda \sin(\alpha)}{r}$)

ps. у меня $r$ - не как на рисунке расстояние до $dl$, а постоянное расстояние по горизонтали OA. и по моему именно в этом у вас ошибка, забыли учесть зависимость $r$ от $\alpha$ в ваших обозначениях

[Katmandu]

Katmandu в сообщении #937404 писал(а):

$ dE_x = \dfrac {\varkappa{dl}\cos^3{\alpha}} {|OA|^2} $

romka_pomka в сообщении #937408 писал(а):

Остался $dl$.

Могу попробовать избавиться.


я так это вижу

$ d\beta = 2\dfrac {d\beta}{2} = 2 \dfrac {\frac{dl_1} {2}} {\frac {|OA|} {\cos{\alpha}}} = \dfrac {dl_1 \cos{\alpha}} {|OA|} $
т.к. $ dl_1 = dl \cos{\alpha} $
$d\beta = \dfrac {dl \cos^{2}{\alpha}} {|OA|} $

$ dl = \dfrac {d\beta |OA|} {\cos^{2}{\alpha}} $

$ dE_x = \dfrac {\varkappa {d\beta} \cos{\alpha}} {|OA|} $

вот что делать с $ \alpha $ и с $ d\beta$
вроде интуитивно и ясно что это одно и то же, но не явно пока что

вообще думаю, что если $ \alpha $ изменится на $ d\alpha $, то $ d\alpha = d\beta $

[rustot]

именно так. $d\alpha$, а не $d\beta$

[romka_pomka]

Katmandu в сообщении #937448 писал(а):

я так это вижу

Хорошо, но долго.
------------------------------------------
Обратите внимание, что тут:

Katmandu в сообщении #937448 писал(а):

$ d\beta = 2\dfrac {d\beta}{2} = 2 \dfrac {\frac{dl_1} {2}} {\frac {|OA|} {\cos{\alpha}}} = \dfrac {dl_1 \cos{\alpha}} {|OA|} $

у Вас треугольник "$rdl_1$" - равносторонний

а тут

Katmandu в сообщении #937448 писал(а):

т.к. $ dl_1 = dl \cos{\alpha} $

треугольник "$dl_1dl$" уже прямоугольный

Не хорошо это - иметь в равностороннем треугольнике прямой угол.

Такие кульбиты с треугольниками безболезненно терпятся, только если Вы имеете в рукаве козырь в виде бесконечно малой величины вроде $d\beta$.

Еще раз: то, что Вы с ними делали - это долго и по-детски, хотя получилось правильно. Осваивайте таки "якобиан":
- для одномерного случая: $dl=Jd\beta=\frac{dl}{d\beta}d\beta$;
- для нахождения якобиана $J$, надо написать зависимость $l=l(\beta)$ и продифференцировать ее: $l=|AO|\tg\beta \Rightarrow J=\frac{dl}{d\beta} = \frac{|AO|}{\cos^2\beta}$
------------------------

Katmandu в сообщении #937448 писал(а):

вот что делать с $ \alpha $ и с $ d\beta$
вроде интуитивно и ясно что это одно и то же, но не явно пока что

вообще думаю, что если $ \alpha $ изменится на $ d\alpha $, то $ d\alpha = d\beta $

Попробуйте внятно словами сами себе сказать что такое у Вас за $d\beta$ такая, написать в конце концов буквами. $d\beta$ - приращение чего именно? А $\alpha$ - это чо? Ну это самостоятельно уже.