Сходимость числовой последовательности и её предел.

[Viktor92]

Есть последовательность заданная рекуррентным соотношением $x_{n+1}=\sqrt{x_n+6}, x_1=0$, надо доказать, что она сходится и найти её предел. Интуитивно понятно, что каждый последующий член будет больше предыдущего и это как минимум будет стремиться куда-то в область $\sqrt{6}$, точный ответ к этой задаче 3. Но как доказать это строго и найти предел додуматься что-то никак не могу

[ИСН]

Вы о сходимости последовательностей слышали что-нибудь, например? Я вот слышал, что последовательность сходится, если она монотонна и ограничена. (Но не только тогда.) Может быть, можно как-то доказать, что Ваша последовательность монотонна? Может быть, можно доказать, что она ограничена?

[Viktor92]

То что последовательность монотонна, означает что каждый её член строго больше/меньше предыдущего и здесь это легко доказать, а вот ограниченность, возможно говоря неформально квадратный корень, т.е. степенная функция с дробным показателем степени $1/2$ растёт (уменьшается в нашем случае) быстрее, чем прибавление константы 6 к $x_n$ и это всё имеет какой-то предел, но как его найти точно... Я правильно мыслю?

[provincialka]

Это рассуждение трудно довести до конца. Вы лучше поступите так. Если все-таки последовательность сходится, то как найти ее предел? Чему он равен? И не будет ли он той границей, выше которой значения не "прыгнут"?

[Viktor92]

Для последовательностей заданных формулой n-го члена предел находится легко , а это рекуррентное соотношение если бы удалось свести к такой формуле проблем бы не было, может тут какой-то искусственный технический приём применить надо?

[provincialka]

Да нет, как раз очень простой прием. В предположении, что искомый предел существует, перейдите к пределу в рекуррентном соотношении.

[ИСН]

Искусственный технический приём - это как раз сводить к формуле n-го члена. Обычно в жизни её нет и не предвидится, даже за деньги. А так - ну, смотрите: предел Вы "знаете", теперь надо обосновать, что это именно он. Как ведёт себя разность между $x_n$ и пределом, например?

[Viktor92]

Вот так вроде можно доказать, что 3 есть предел последовательности. Выразим $x_n$ таким образом:
$x_n=(x_{n+1})^2-6$, теперь из определения предела $(x_{n+1})^2-6-3<\epsilon$ (модуль опустили), после преобразований $x_{n+1}<\sqrt{9+\epsilon}$, т.е. начиная с члена $x_{n+1}$ все последующие лежат в $\epsilon \text {-окрестности}$ точки 3.

[provincialka]

Не вечно человечеству жить в колыбели Не все надо делать по определению.

ИСН в сообщении #936845 писал(а):

Я вот слышал, что последовательность сходится, если она монотонна и ограничена.

Viktor92, вы уже выяснили, каким может быть значение предела, если он существует?

[ИСН]

Предположим, у нас есть последовательность $1+{1\over n}$. Пусть какая-то её точка лежит в $\varepsilon$-окрестности... нуля. Тогда и все последующие лежат в той же окрестности нуля, это факт; но будет ли ноль пределом?

[Viktor92]

Цитата:

Viktor92, вы уже выяснили, каким может быть значение предела, если он существует?

Нет, не понимаю как можно перейти к пределу прямо в данном соотношении, там всё бесконечно выражается через друг друга, представить это не получается.

Цитата:

Предположим, у нас есть последовательность $1+{1\over n}$. Пусть какая-то её точка лежит в $\varepsilon$-окрестности... нуля. Тогда и все последующие лежат в той же окрестности нуля, это факт; но будет ли ноль пределом?

В данном случае предел конечно 1, для любого $\epsilon$ можно найти такой номер $n_0$ начиная с которого разность между $a_n$ и 1 по модулю будет меньше $\epsilon$, то же самое я имел ввиду и в доказательстве выше.

[provincialka]

Viktor92 в сообщении #937064 писал(а):

Нет, не понимаю как можно перейти к пределу прямо в данном соотношении, там всё бесконечно выражается через друг друга, представить это не получается.

Не надо ничего никуда подставлять. Вот, например, $x_n\to a$. А к чему тогда стремится последовательность $x_{n+1}$?

[ИСН]

Viktor92 в сообщении #937064 писал(а):

В данном случае предел конечно 1, для любого $\epsilon$ можно найти такой номер $n_0$ начиная с которого разность между $a_n$ и 1 по модулю будет меньше $\epsilon$, то же самое я имел ввиду и в доказательстве выше.

Да понятно, что 1. И понятно, что Вы имели в виду. Но разве Вы это доказали?

[Viktor92]

provincialka в сообщении #937066 писал(а):

Не надо ничего никуда подставлять. Вот, например, $x_n\to a$. А к чему тогда стремится последовательность $x_{n+1}$?

Здесь очевидно к $a$.

[provincialka]

Ну! И!? Что станет с рекуррентным равенством, если перейти к пределу в левой и правой части?