Матрицы

[Slow]

Опишите все невырожденные вещественные матрицы $A$, для которых
все элементы матриц $A$ и $A^{-1}$ неотрицательны.
Есть такие мысли: то что матрица невырожденная значит существует $A^{-1}$, а то что матрица вещественная значит что можно говорить о неотрицательности, и мне кажется что на этом эти условия исчерпываются и больше они особо не нужны. Подумал найти обратную матрицу в явном виде и попробовать найти условия при которых ее элементы неотрицательны при условии неотрицательности элементов матрицы A, но вот что то в тупик уперся.

[ewert]

Если все элементы неотрицательны, то у произведения $A\cdot A^{-1}$ будет что-то нехорошее с внедиагональными элементами. Вообще говоря.

[Евгений Машеров]

Перемножьте матрицы. Когда внедиагональные элементы произведения будут нулевыми?

[Slow]

А, ну результатом перемножения двух матриц будет матрица $c_{ij}=\sum\limits_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}$, тогда когда $i\ne j$ в каждом слагаемом хотя бы один из элементов должен быть ноль, тогда матрица A частично будет заполнена нулями, осталось только понять как. Верно?

[ewert]

Если, скажем, в первой строке первого сомножителя есть два ненулевых элемента, то во всех столбцах второго сомножителя, начиная со второго столбца, будут по два нуля, причём на одних и тех же местах, и ранг получится слишком маленьким.

[Slow]

У меня получилось следующее: Пусть $a_{ij}\ne 0 \Rightarrow b_{jk_1}=0(k_1\ne i) \Rightarrow b_{ji}\ne 0 \Rightarrow a_{ik_2}=0(k_2\ne j)$, то есть в строке может быть только один ненулевой элемент, тогда матрица $A$ должна быть такой что в каждой строке и столбце только один положительный элемент.

[Евгений Машеров]

А теперь - чему этот положительный элемент может быть равен. Что мы не использовали в матрице $A^{-1}A$?

[ИСН]

В итоге - только перестановки, что ли?

[provincialka]

Евгений Машеров в сообщении #936220 писал(а):

А теперь - чему этот положительный элемент может быть равен.

А в чем проблема? Целочисленность же не предполагается.

[Евгений Машеров]

Да, пожалуй, я лишнего потребовал. Не матрица перестановок, а просто матрица с ровно одним положительным элементом в каждой строке и столбце, остальные нули.

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #936352 писал(а):

Не матрица перестановок, а просто матрица с ровно одним положительным элементом в каждой строке и столбце, остальные нули.

Т.е. да, перестановки, но только умноженные на положительные диагональные. Да.