Компактность оператора

[demolishka]

Есть оператор $T:L^2[0;1] \to L^2[0;1]$, который задается равенством

$$(Tf)(x) = \int_0^1 K(x,y)f(y)dy, \; \textmd{где } \; K(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Нужно доказать, что он компактен.
В случае, если бы оператор был $C[0;1] \to C[0;1]$. Помогла бы срезка ядра: $K_n(x,y) = \min\{n,K(x,y)\}$. И можно показать, что соответствующая последовательность компактных операторов $(T_nf)(x) = \int_0^1K_n(x,y)f(y)dy$ сходится к $T$.
Здесь же, $\sup\|T_n\| = +\infty$. Так что никакой сходимости не получится. Критерий предкомпактности подмножества в $L^p$ желательно не использовать.

[ewert]

Он Гильберта-Шмидта: ядро квадратично интегрируемо на квадрате.

[demolishka]

ewert в сообщении #936199 писал(а):

Он Гильберта-Шмидта: ядро квадратично интегрируемо на квадрате.

Про компактные операторы пока ничего не известно, кроме определения и некоторых базовых свойств(о композиции, пределе и т.д.).

[ewert]

Ну вот о пределе. Значит, известно, что предел по норме конечномерных операторов -- компактен.

Так вот, если $\{\psi_k(x)\}$ -- полная ортогональная система функций на отрезке, то $\{\psi_i(x)\cdot\psi_k(y)\}$ -- полная ортогональная система на квадрате. И ядро, будучи квадратично интегрируемым, раскладывается по этой системе в ряд Фурье. А частичные суммы (двухиндексные) этого ряда, интерпретируемые как ядра, задают именно конечномерные операторы. А сходимость ядер по эль-два-норме влечёт за собой сходимость самих операторов по операторной норме.

[demolishka]

ewert в сообщении #936419 писал(а):

Ну вот о пределе. Значит, известно, что предел по норме конечномерных операторов -- компактен.

Так вот, если $\{\psi_k(x)\}$ -- полная ортогональная система функций на отрезке, то $\{\psi_i(x)\cdot\psi_k(y)\}$ -- полная ортогональная система на квадрате. И ядро, будучи квадратично интегрируемым, раскладывается по этой системе в ряд Фурье. А частичные суммы (двухиндексные) этого ряда, интерпретируемые как ядра, задают именно конечномерные операторы. А сходимость ядер по эль-два-норме влечёт за собой сходимость самих операторов по операторной норме.

По сути получилось доказательство этой самой теоремы о компактности оператора Гильберта-Шмидта. Спасибо за помощь.

[ewert]

Ну я просто не понимаю, как могло бы естественным образом получиться иначе. В любом ином варианте вылезет то ли кустарщина, то ли ловля блох, то ли одновременно, и при этом с непременным занудством.