Измерение скорости электрона.

[DimaM]

Shtorm в сообщении #935832 писал(а):

Теперь время фиксируем и начинаем увеличивать напряжение - скорость электрона растёт. Теперь третий момент - увеличиваем напряжение и время при этом меняется: разве ускоряющее напряжение и время - не будут независимыми переменными?

Нет конечно.
Электрон в ускоряющем промежутке увеличивает скорость и вылетает наружу. При заданной начальной скорости (энергии) и заданном ускоряющем напряжении время пролета будет фиксированным.

[Shtorm]

Давайте уточним. Я все рассуждения проводил исходя из того, что электрон летит от катода к аноду и никуда наружу не вылетает. Под временем $t$ я в этой теме всегда понимал не общее время, за которое электрон долетит от катода к аноду, а время $t$ - как текущую координату на шкале времени. И скорость, которую я нахожу по вышеприведённой формуле - мгновенная, в момент времени $t$. В рамках такого рассуждения я не вижу как независимо тикающее время по часикам будет зависеть от ускоряющего напряжения - которое мы как хотим - так и вертим ручкой регулировки, а время при этом как шло по шкале времени - так и идёт.
Я понимаю, что время пролёта электрона от катода к аноду - зависит от ускоряющего напряжения. Но мне нужно не время пролёта - а время - текущая координата и соответствующая ей мгновенная скорость.

[rustot]

$F = \frac{d}{dt} p(t) = \frac{d}{dt}\frac{m v(t)}{\sqrt{1-v(t)^2/c^2}} = \frac{m}{(1-v(t)^2/c^2)^{3/2}} \frac{d}{dt} v(t)$

$\frac{d}{dt}v(t) - \frac{F}{m} (1-v(t)^2/c^2)^{3/2} = 0$

$v(t) =\frac{c}{\sqrt{1+\frac{m^2 c^2}{F^2 t^2}}}$ (при $v(0) = 0$)

$s(t) = \int_0^{t} v dt = \sqrt{c^2 t^2 + \frac{m^2 c^4}{F^2}} - \frac{m c^2}{F}$

но вам в условии не даны ни время пролета $t$ ни путь $s$ ни сила $F$ по отдельности, вам дано только произведение $F s = q U$ и задача таким путем хоть и решаема, но решение получается неоправданно сложным. через энергию же вы тот же самый результат получите куда проще

если же вы решали задачу совершенно другую, про зависимость скорости от времени при фиксированной силе (в исходной задаче сила не дана), то да, формула именно такая.

[Shtorm]

Вот эти две формулы полностью идентичны:

Shtorm в сообщении #935824 писал(а):

$$v=\dfrac{E q t}{\sqrt{m^2+\frac{E^2q^2t^2}{c^2}}}$$

rustot в сообщении #935852 писал(а):

$v(t) =\frac{c}{\sqrt{1+\frac{m^2 c^2}{F^2 t^2}}}$ (при $v(0) = 0$)

Итак, если ускоряющее напряжение $U$ фиксировано, то зависимость мгновенной скорости от времени:

$$v(t) =\dfrac{c}{\sqrt{1+\frac{m^2 c^2 d^2}{U^2 q^2 t^2}}}$$

где $d$ - расстояние между анодом и катодом. (это расстояние вообще во всех рассуждениях фиксировано).
Так что нам мешает теперь сказать, что пусть напряжение $U$ - является переменной величиной и рассматривать уже текущее время и текущее напряжение - как переменные величины? И соответственно, записать скорость электрона как функцию двух независимых переменных $U$ и $t$:

$$v(U,t) =\dfrac{c}{\sqrt{1+\frac{m^2 c^2 d^2}{U^2 q^2 t^2}}}$$

[rustot]

ничто не мешает кроме избыточной сложности решения простой задачи определения скорости электрона при прохождении именно полного пути. причем простое решение не меняется ни в одной букве если поле между анодом и катодом оказывается неоднородным при той же разности потенциалов, а через $v(t)$ сложность при неоднородном поле $F(t) \ne \operatorname{const}$ еще на порядок увеличивается. вам же несколько раз уже сказали что формула верная, недостаток - сложность, а не ошибочность. вы можете повторить вычисления по ней и убедиться что результат окажется тем же

[Munin]

DimaM в сообщении #935796 писал(а):

Я как-то задачку даже придумал: частица массы $m$ разгоняется на пути $L$ до энергии $E$, найти время разгона.

А потенциал задан или нет?

[Xey]

Shtorm в сообщении #935899 писал(а):

где $d$ - расстояние между анодом и катодом.

Напомню, что в осциллографе есть магнитная линза. Электроны разлетаются , летят разными путями (по спиралям) и в конце собираются в точку.
Пути разные, одинаковы ли скопрости?

[Shtorm]

Спасибо ещё раз всем участникам обсуждения.
Xey, хорошо, что я рассматривал просто анод и катод, и вакуум между ними. Без всяких магнитных полей. Таким образом траектории электронов считались прямолинейными. В случае же отклонения магнитным полем летящего электрона, нужно разложить его скорость на две составляющих - в направлении горизонтальной оси (от анода к катоду) - (и эта скорость останется такой же как и раньше) и в перпендикулярном направлении - направлении перпендикулярном вектору магнитной индукции $\vec{B}$ и перпендикулярном горизонтальной скорости электрона. Всё верно?

[levtsn]

сила лоренца дает круговые траектории, а не параболический. аксиальная скорость уменьшается.

[rustot]

Shtorm в сообщении #935914 писал(а):

случае же отклонения магнитным полем летящего электрона, нужно разложить его скорость на две составляющих - в направлении горизонтальной оси (от анода к катоду) - (и эта скорость останется такой же как и раньше)

при отклонении магнитным полем модуль скорости останется прежним, а не проекция. сила со стороны магнитного поля направлена перпендикулярно скорости. при большом магнитном поле электрон может вообще вернуться на катод

[DimaM]

Munin в сообщении #935904 писал(а):

DimaM в сообщении #935796 писал(а):

Я как-то задачку даже придумал: частица массы $m$ разгоняется на пути $L$ до энергии $E$, найти время разгона.

А потенциал задан или нет?

Можно считать, что задан: начальная скорость нулевая, конечная энергия дана.

[Munin]

DimaM в сообщении #935926 писал(а):

Можно считать, что задан: начальная скорость нулевая, конечная энергия дана.

Меня смущает двоеточие: вы подразумеваете, что "потенциал задан, а кроме того, начальная скорость нулевая, конечная энергия дана", или хотите сказать, что начальной скоростью и конечной энергией задаётся однозначно форма потенциала $U(x)$? Ещё есть вариант "потенциал линейный".

[DimaM]

Munin в сообщении #935945 писал(а):

Ещё есть вариант "потенциал линейный".

Да, линейный. Забыл написать в исходном сообщении.

[Munin]

А-а-а, ну тогда просто упражнение на гиперболические функции.

-- 25.11.2014 15:38:54 --

Если потенциал общего вида, то боюсь, ничего кроме некоторого интеграла записать будет нельзя.

[DimaM]

Munin в сообщении #935984 писал(а):

А-а-а, ну тогда просто упражнение на гиперболические функции.

Не, гиперболические не нужны - интересно не собственное время, а время по часам лаборатории.

Munin в сообщении #935984 писал(а):

Если потенциал общего вида, то боюсь, ничего кроме некоторого интеграла записать будет нельзя.

Это даже в классике так.