Задача про паука и лабиринт. Складывать или умножать?

[Skeptic]

Atom001 в сообщении #935562 писал(а):

Я рассматриваю задачу так: паук входит и у него сразу же есть два варианта идти вверх (по рисунку) или вниз. Вероятность того и другого $0,5$. Если он пойдёт вверх, то, дойдя до перекрёстка, у него появится новый выбор - пойти налево в выход B или идти направо. Вероятность каждого решения опять же $0,5$. Эти два события не могут произойти одновременно, так как паук не может быть в двух местах одновременно, значит эти два события несовместные, тогда их вероятности складываются при нахождении общей вероятности.

Эти два события зависимые, т.к. для наступления второго события нужно, чтобы произошло первое. Поэтому вероятности перемножаются.

[Munin]

А паук делает выборы только на перекрёстках? А то лабиринт расчерчен на клеточки, и если паук делает выбор вообще на каждой клеточке, даже в прямом коридоре: идти вперёд или назад - то надо на случайные блуждания на неветвящихся участках домножать.

[Atom001]

Skeptic, но ведь перемножаются только независимые события
Munin, нет, выбор пауком делается только на перекрёстках, в любом другом случае он всегда движется вперёд (относительно себя).
ИСН, получается, что у всех выходов вероятность одинаковая.

P.S. Задача уровня ЕГЭ.

[ИСН]

И у всех 0.0625? Это как-то... загадочно. А что же происходит в остальных случаях? Сумма-то, она как, должна единицей быть, али нет?

[Munin]

Atom001 в сообщении #935908 писал(а):

Munin, нет, выбор пауком делается только на перекрёстках, в любом другом случае он всегда движется вперёд (относительно себя).

Тогда надо вместо лабиринта нарисовать его граф, и все тупики повыкидывать.

[grizzly]

Munin в сообщении #935933 писал(а):

Тогда надо вместо лабиринта нарисовать его граф, и все тупики повыкидывать.

Я бы посоветовал ТС тупики оставить (до полного понимания), обозначить их тоже буквами и считать вероятности останова / выхода в каждой букве. Тогда бы появилась дополнительная проверка, что сумма вероятностей даёт 1 (и, заодно, ошибки типа "получается, что у всех выходов вероятность одинаковая" устранились бы по дороге, я надеюсь).

А после полного понимания -- согласен -- лучше графы и без тупиков.

Чего стоило составителю задачи сказать, что паук скорее умрёт, чем пройдёт дважды одной дорогой? Насколько проще бы стало.

-- 25.11.2014, 15:37 --

Лучше, считаю, ответить на прямые вопросы ТС, поскольку нашими намёками можно надолго оставить труднорассеиваемый туман.

Сложение вероятностей -- это для несовместных событий. В нашей задаче несовместные события это выходы паука в разных точках (или тупиках). Это понятно -- паук-то не квантовый. И сумма вероятностей всех этих событий должна быть 1.

Умножение вероятностей -- это, правильно, для независимых событий. В данном случае решение паука, куда повернуть на следующей развилке, не зависит от его предыдущих решений. Поэтому мы и перемножаем вероятности на каждой развилке (и весь путь от развилки $X$ до следующей развилки / выхода / тупика паук проходит с той же вероятностью, которую мы насчитали на развилке $X$).

[Atom001]

grizzly в сообщении #935941 писал(а):

Лучше, считаю, ответить на прямые вопросы ТС, поскольку нашими намёками можно надолго оставить труднорассеиваемый туман.

Сложение вероятностей -- это для несовместных событий. В нашей задаче несовместные события это выходы паука в разных точках (или тупиках). Это понятно -- паук-то не квантовый. И сумма вероятностей всех этих событий должна быть 1.

Умножение вероятностей -- это, правильно, для независимых событий. В данном случае решение паука, куда повернуть на следующей развилке, не зависит от его предыдущих решений. Поэтому мы и перемножаем вероятности на каждой развилке (и весь путь от развилки $X$ до следующей развилки / выхода / тупика паук проходит с той же вероятностью, которую мы насчитали на развилке $X$).

Ничего не понимаю... Два события считаются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Правильно? В нашей задаче паук не может пойти сразу в двух направления (его решения несовместны). Но ведь и на разных перекрёстках он не может быть одновременно. Мы же перемножаем вероятности (событий), что он окажется на конкретном перекрёстке (или нет?), а он не может быть на двух перекрёстках в одно время.
И ещё, вопрос ИСН меня сбил с толку. Если подсчитать, то получится что до каждого выхода пауку нужно сделать ровно 4 выбора из двух вариантов. Оба варианта равносильны, поэтому вероятность выбора каждого $0,5$. Но так же быть не может. Верно?

[provincialka]

Atom001 в сообщении #935968 писал(а):

Два события считаются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Тут есть подвох в слове "одновременно". Оно неудачное, возникает ощущение, что это связано со временем. Нет, не связано. Например, существо не может быть и человеком, и пауком. Даже если мы проверяем его в разное время.
Слово "одновременно" в этом определении лучше заменить на "оба". Не совсем красиво, зато более точно.

[Skeptic]

Atom001 в сообщении #935908 писал(а):

Skeptic, но ведь перемножаются только независимые события.

Перемножаются не события, а вероятности действия при их наступлении. События между собой зависимы, т.к. без первого не может произойти второе, но вероятности выпадения того или иного решения в них между собой независимы.

[provincialka]

А почему только независимые? Правило умножения есть и в общем виде, $P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$

[grizzly]

Atom001 в сообщении #935968 писал(а):

Atom001 в сообщении #935562

писал(а):
Я рассматриваю задачу так: паук входит и у него сразу же есть два варианта идти вверх (по рисунку) или вниз. Вероятность того и другого $0,5$. Если он пойдёт вверх, то, дойдя до перекрёстка, у него появится новый выбор - пойти налево в выход B или идти направо. Вероятность каждого решения опять же $0,5$. Эти два события не могут произойти одновременно, так как паук не может быть в двух местах одновременно, значит эти два события несовместные, тогда их вероятности складываются при нахождении общей вероятности.

Вот здесь всё было абсолютно правильно. Но так давайте будем считать с самого начала.
1. Есть два варианта -- вниз или вверх. Оба по 0,5. Несовместные, значит общая вероятность есть сумма и равна 1. Это правильно -- этим исчерпываются все возможные события.
1.1. (Это подпункт, то есть после того, как пошли вверх.) Опять же 2 варианта -- или на выход В или направо. События несовместные, значит их сумма должна быть общей вероятностью (помним, что общая вероятность прохода наверх мы уже считали -- 0,5. А какая вероятность "выхода В"? Поворот на выход не зависит от прошлых решений (то, что выход В возможен только после старта наверх -- правильнее считать это "совместностью" событий, а не их зависимостью), значит, мы умножаем 0,5 нахождения на этой развилке на 0.5 вероятности поворота на выход В. И совсем это не 0,0625.
И т.д.

-- 25.11.2014, 16:41 --

provincialka в сообщении #935969 писал(а):

Мы же перемножаем вероятности (событий), что он окажется на конкретном перекрёстке (или нет?), а он не может быть на двух перекрёстках в одно время.

Перемножаем мы вероятности или складываем зависит от того, на какой вопрос мы хотим ответить. Если нас интересует вероятность того, что он оказался на конкретном перекрёстке, то мы умножаем все вероятности достижения этого перекрёстка. И, внимание!, это совсем не означает, что мы считаем какую-то "общую вероятность" того, что он на этом перекрёстке окажется.

А то, что он сначала был на перекрёстке 1, а потом только попал на перекрёсток 2 -- это как раз означает, что события 1 и 2 совместны. И здесь ничего складывать нельзя. И тоже правильно заметили -- одновременность здесь лучше не вспоминать. Вопрос только в том, можно или нельзя эти события "совместить" в одну цепочку событий.

[grizzly]

Произошёл странный сбой в цитировании. Автор последней цитаты -- Atom001. Прошу извинить, но я уже не могу исправить.

-- 25.11.2014, 17:59 --

Atom001
Когда с данной задачей полностью разберётесь, вернитесь к замечанию ниже (раньше не нужно):

grizzly в сообщении #935974 писал(а):

Если нас интересует вероятность того, что он оказался на конкретном перекрёстке, то мы умножаем все вероятности достижения этого перекрёстка.

Это верно для данной задачи, где путь к любой точке только один. Если бы к Выходу D, например, можно было бы пройти разными путями, то, упрощённо говоря, движение по этим путям не было бы совместными событиями и тогда, чтобы найти общую вероятность Выхода D, нужно было бы искать и суммировать вероятности прохода по всем разным путям.
Здесь уже, действительно, была бы общая вероятность -- сумма по всем "несовместным" путям.

[provincialka]

Что выбирать -- сложение или умножение -- зависит не от "несовместности" или "независимости". Эти требования просто упрощают соотв. формулы.

Если произошло событие А или событие В, то применяется сложение. А именно,

$$P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(AB).$$

В частном случае несовместных событий имеем

$$P(A+ B)=P(A) + P(B) .$$

Если произошли оба события, и А, и В, применяем умножение. А именно,

$$P(AB) = P(A)\cdot P(B|A).$$

В частном случае независимых событий имеем

$$P(AB)=P(A)\cdot P(B) .$$

[Atom001]

grizzly, provincialka, спасибо! Теперь я разобрался! Хотя в голове каша из понятий и определений.

[ИСН]

Сумма стала единицей или нет? Если нет, то - - -