Чтобы говорить о гладкости нужна дополнительная структура - гладкая структура. Именно гладкие структуры на многообразии-прообразе и на многообразии-образе определяют про каждое конкретное непрерывное отображение между ними, будет оно гладким или нет. Понимать так: координатная запись в каждой паре карт - гладкая. Такое определение не зависит от выбора локальных координат в рамках соответствующих гладких структур в окрестностях точки на прообразе и на образе. Но изначально заданное (заданное ещё как на топологических пространствах, до фиксирования гладких структур) непрерывное отображение, после введения даже пусть эквивалентных гладких структур (то есть соответствующие многообразия диффеоморфны), может в некоторых оказаться гладким, а в некоторых не гладким.
Пример: берём

со стандартной топологией и функцию из

, которая возводит число

в степень

:

, теперь берём стандартную карту

и карту

. На образе берём оба раза карты стандартные

. При первой гладкой структуре на прообразе отображение

в координатах примет вид

, то есть не гладкое в

, а при второй гладкой структуре на прообразе:

, то есть гладкое.
Но это вполне нормально, мы просто рассмотрели сначала отображение топологических пространств, оно оказалось непрерывным. Потом зафиксировали на них дополнительные структуры и оно в разных дополнительных структурах расклассифицировалось уже по разному.