Аналитическое отображение(многообразия)

[Felt]

Везде пишется, но внятного определения не увидел этого понятия: как понимать аналитическое(или гладкое) отображение между многообразиями? Или, к примеру, у Бурбаки в книге о группах Ли пишется, что отображение $(x, y) \longrightarrow xy$, $x,y \in G$, заданное в этой группе - аналитическое. Что это значит? Классическое определение аналитической функции - что она раскладывается в ряд Тэйлора в любой точке своей области определения и гладкой функции - которая дифференцируема в каждой точке области определения(здесь разнятся оперделения - н-ая производная или бесконечно дифференцируема - неважно). Но что имеют в виду, когда говорят о гладкости отображения между элементами топологических пространств(хаусдорфовых)?

То есть подвожу итог: что такое аналитическое отображение у групп Ли, например, если группа Ли это группа вращений пространства размерности 2? Что такое гладкое отображение между топологическими пространствами?

[VanD]

Чтобы говорить о гладкости нужна дополнительная структура - гладкая структура. Именно гладкие структуры на многообразии-прообразе и на многообразии-образе определяют про каждое конкретное непрерывное отображение между ними, будет оно гладким или нет. Понимать так: координатная запись в каждой паре карт - гладкая. Такое определение не зависит от выбора локальных координат в рамках соответствующих гладких структур в окрестностях точки на прообразе и на образе. Но изначально заданное (заданное ещё как на топологических пространствах, до фиксирования гладких структур) непрерывное отображение, после введения даже пусть эквивалентных гладких структур (то есть соответствующие многообразия диффеоморфны), может в некоторых оказаться гладким, а в некоторых не гладким.
Пример: берём $\mathbb{R}$ со стандартной топологией и функцию из $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, которая возводит число $x$ в степень $\frac{1}{3}$: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$, теперь берём стандартную карту $u(x)=x$ и карту $v(x)=x^{\frac{1}{3}}$. На образе берём оба раза карты стандартные $w(x)=x$. При первой гладкой структуре на прообразе отображение $f$ в координатах примет вид $w=u^{\frac{1}{3}}$, то есть не гладкое в $0$, а при второй гладкой структуре на прообразе: $w=v$, то есть гладкое.
Но это вполне нормально, мы просто рассмотрели сначала отображение топологических пространств, оно оказалось непрерывным. Потом зафиксировали на них дополнительные структуры и оно в разных дополнительных структурах расклассифицировалось уже по разному.

[Felt]

Так, с многообразиями понятно, с гладким отображением заданным на группе - пока не совсем. Опять же возвращаясь к отображению $(x,y) \rightarrow xy$ - мы смотрим на то, как отображает карта из гладкой структуры на этой группе на $R^n$ каждый из аргументов и затем смотрим что имеем на выходе при таким образом заданном отображении?

(Оффтоп)

Вы случайно не из Чехии?

[VanD]

У Вас пара $(x,y)$ есть точка многообразия $G \times G$, на нём есть гладкая структура, которая порождается атласом прямого произведения. Если речь о гладкости отображения $(x,y) \rightarrow xy$, то оно должно быть гладким отображением многообразий $G \times G$ и $G$. То есть, в соответствующих локальных картах на $G \times G$ и на $G$ его координатная запись должна быть гладкой.

(Оффтоп)

Нет)