Нормы векторов. Доказать неравенство.

[SlayZar]

Требуется проверить что $\left|\left|x\right|\right|_1=\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|$ является нормой в $R^n$ и проверить, справедливость нер-ва : $\forall x \in R^n$ : $\left|x\right|\leq\left|\left|x\right|\right|_1\leq\sqrt{n}\left|x\right|$

Чтобы проверить, что $\left|\left|x\right|\right|_1$ является нормой, проверяем свойства нормы:
1) $\left|\left|x\right|\right|_1=0 \Rightarrow x=0$, так как очевидно, что сумма модулей $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|=0$ равна нулю только, если все $x$ равны нулю.
2) $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1=\left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$
3) $\forall \alpha \in C, \forall x \in R^n : \left|\left|\alpha x\right|\right|_1 = \alpha \left|\left|x\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|\alpha x_i\right|=\alpha \sum\limits_{i=1}^n\left|\alpha x_i\right|$
Значит $\left|\left|x\right|\right|_1$ действительно является нормой в $R^n$.

А вот как доказать неравенство? Чем тут лучше пользоваться? Пробовал разложить $\left|x\right|$, но получилось, что $\left|x\right|=\left|\left|x\right|\right|_1$, что вроде бы неверно...

[provincialka]

SlayZar в сообщении #934036 писал(а):

2) $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1=\left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$

Это почему? И про какое неравенство вы говорите?

[Lia]

Можно узнать, причем тут матрицы? Если ни при чем, смените название темы.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #934037 писал(а):

SlayZar в сообщении #934036 писал(а):

2) $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1=\left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$

Это почему?

Да, это похоже будет верно только для положительных $x_i$, $y_i$. А для произвольных получается это свойство не выполняется... И тогда получается, что это не норма?!

provincialka в сообщении #934037 писал(а):

И про какое неравенство вы говорите?

SlayZar в сообщении #934036 писал(а):

проверить, справедливость нер-ва : $\forall x \in R^n$ : $\left|x\right|\leq\left|\left|x\right|\right|_1\leq\sqrt{n}\left|x\right|$

Lia в сообщении #934038 писал(а):

Можно узнать, причем тут матрицы? Если ни при чем, смените название темы.

извиняюсь.

[provincialka]

Хм. А что означает модуль в этом неравенстве?

Насчет нормы: вы не то доказываете (см. п.2)

[SlayZar]

provincialka в сообщении #934042 писал(а):

Насчет нормы: вы не то доказываете (см. п.2)

Да, точно, вот так будет вернее: $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1 \leq \left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| \leq \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$

provincialka в сообщении #934042 писал(а):

Хм. А что означает модуль в этом неравенстве?

Я так понял, что тут имеется ввиду длина вектора... $\left|x\right|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}$
Тогда получается, что надо доказать, что $\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2} \leq \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| \leq\sqrt{n}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}$

[provincialka]

SlayZar в сообщении #934043 писал(а):

Я так понял, что тут имеется ввиду длина вектора

Я тоже так подумала. Достаточно доказать неравенство для случая $|x|=1$.

[SlayZar]

provincialka в сообщении #934047 писал(а):

SlayZar в сообщении #934043 писал(а):

Я так понял, что тут имеется ввиду длина вектора

Я тоже так подумала. Достаточно доказать неравенство для случая $|x|=1$.

Потому что остальные вектора мы можем нормировать и привести к этому случаю?

-- 21.11.2014, 02:10 --

Левую часть похоже можно доказать возведением обоих частей в квадрат, но что тогда делать с правой?
$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2} \leq \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|$, так как

$\sum\limits_{i=1}^nx_i^2 \leq (\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|)^2$, так как сумма квадратов $n$ чисел не превосходит квадрата суммы этих чисел

[Slow]

Воспользуйтесь тем что $(x-y)^2\geqslant0$

[ewert]

SlayZar в сообщении #934048 писал(а):

что тогда делать с правой?

Следует из неравенства Коши-Буняковского.

[SlayZar]

ewert в сообщении #934088 писал(а):

SlayZar в сообщении #934048 писал(а):

что тогда делать с правой?

Следует из неравенства Коши-Буняковского.

Что-то все равно не совсем так получается...
Неравенство Коши-Буняковского $(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i)^2 \leq \sum\limits_{i=1}^nx_i^2 \sum\limits_{i=1}^ny_i^2$

Мы доказываем, что $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| \leq\sqrt{n}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}$
Если возведём в квадрат $(\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|)^2 \leq n \sum\limits_{i=1}^nx_i^2$
Похоже, но как-то вроде бы не совсем очевидно что неравенство всегда выполняется...

[provincialka]

Ну, возьмите в качестве $y_i$ числа $\pm 1$

[SlayZar]

provincialka в сообщении #934429 писал(а):

Ну, возьмите в качестве $y_i$ числа $\pm 1$

Да, точно, спасибо.