2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:05 
Требуется проверить что $\left|\left|x\right|\right|_1=\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|$ является нормой в $R^n$ и проверить, справедливость нер-ва : $\forall x \in R^n$ : $\left|x\right|\leq\left|\left|x\right|\right|_1\leq\sqrt{n}\left|x\right|$

Чтобы проверить, что $\left|\left|x\right|\right|_1$ является нормой, проверяем свойства нормы:
1) $\left|\left|x\right|\right|_1=0 \Rightarrow x=0$, так как очевидно, что сумма модулей $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|=0$ равна нулю только, если все $x$ равны нулю.
2) $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1=\left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$
3) $\forall \alpha \in C, \forall x \in R^n : \left|\left|\alpha x\right|\right|_1 = \alpha \left|\left|x\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|\alpha x_i\right|=\alpha \sum\limits_{i=1}^n\left|\alpha x_i\right|$
Значит $\left|\left|x\right|\right|_1$ действительно является нормой в $R^n$.

А вот как доказать неравенство? Чем тут лучше пользоваться? Пробовал разложить $\left|x\right|$, но получилось, что $\left|x\right|=\left|\left|x\right|\right|_1$, что вроде бы неверно...

 
 
 
 Re: Нормы матриц. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:09 
Аватара пользователя
SlayZar в сообщении #934036 писал(а):
2) $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1=\left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$

Это почему? И про какое неравенство вы говорите?

 
 
 
 Re: Нормы матриц. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:13 
Можно узнать, причем тут матрицы? Если ни при чем, смените название темы.

 
 
 
 Re: Нормы матриц. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:18 
provincialka в сообщении #934037 писал(а):
SlayZar в сообщении #934036 писал(а):
2) $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1=\left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$

Это почему?

Да, это похоже будет верно только для положительных $x_i$, $y_i$. А для произвольных получается это свойство не выполняется... И тогда получается, что это не норма?!


provincialka в сообщении #934037 писал(а):
И про какое неравенство вы говорите?

SlayZar в сообщении #934036 писал(а):
проверить, справедливость нер-ва : $\forall x \in R^n$ : $\left|x\right|\leq\left|\left|x\right|\right|_1\leq\sqrt{n}\left|x\right|$



Lia в сообщении #934038 писал(а):
Можно узнать, причем тут матрицы? Если ни при чем, смените название темы.

извиняюсь.

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:23 
Аватара пользователя
Хм. А что означает модуль в этом неравенстве?

Насчет нормы: вы не то доказываете (см. п.2)

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:33 
provincialka в сообщении #934042 писал(а):
Насчет нормы: вы не то доказываете (см. п.2)

Да, точно, вот так будет вернее: $\forall x,y \in R^n: \left|\left|x+y\right|\right|_1 \leq \left|\left|x\right|\right|_1+\left|\left|y\right|\right|_1$, так как $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i+y_i\right| \leq \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| + \sum\limits_{i=1}^n\left|y_i\right|$

provincialka в сообщении #934042 писал(а):
Хм. А что означает модуль в этом неравенстве?

Я так понял, что тут имеется ввиду длина вектора... $\left|x\right|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}$
Тогда получается, что надо доказать, что $\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2} \leq \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| \leq\sqrt{n}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}$

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:46 
Аватара пользователя
SlayZar в сообщении #934043 писал(а):
Я так понял, что тут имеется ввиду длина вектора
Я тоже так подумала. Достаточно доказать неравенство для случая $|x|=1$.

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 01:53 
provincialka в сообщении #934047 писал(а):
SlayZar в сообщении #934043 писал(а):
Я так понял, что тут имеется ввиду длина вектора
Я тоже так подумала. Достаточно доказать неравенство для случая $|x|=1$.

Потому что остальные вектора мы можем нормировать и привести к этому случаю?

-- 21.11.2014, 02:10 --

Левую часть похоже можно доказать возведением обоих частей в квадрат, но что тогда делать с правой?
$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2} \leq \sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|$, так как

$\sum\limits_{i=1}^nx_i^2 \leq (\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|)^2$, так как сумма квадратов $n$ чисел не превосходит квадрата суммы этих чисел

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 03:54 
Воспользуйтесь тем что $(x-y)^2\geqslant0$

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение21.11.2014, 07:28 
SlayZar в сообщении #934048 писал(а):
что тогда делать с правой?

Следует из неравенства Коши-Буняковского.

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение22.11.2014, 00:29 
ewert в сообщении #934088 писал(а):
SlayZar в сообщении #934048 писал(а):
что тогда делать с правой?

Следует из неравенства Коши-Буняковского.

Что-то все равно не совсем так получается...
Неравенство Коши-Буняковского $(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i)^2 \leq \sum\limits_{i=1}^nx_i^2 \sum\limits_{i=1}^ny_i^2$

Мы доказываем, что $\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right| \leq\sqrt{n}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}$
Если возведём в квадрат $(\sum\limits_{i=1}^n\left|x_i\right|)^2 \leq n \sum\limits_{i=1}^nx_i^2$
Похоже, но как-то вроде бы не совсем очевидно что неравенство всегда выполняется...

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение22.11.2014, 00:31 
Аватара пользователя
Ну, возьмите в качестве $y_i$ числа $\pm 1$

 
 
 
 Re: Нормы векторов. Доказать неравенство.
Сообщение22.11.2014, 00:37 
provincialka в сообщении #934429 писал(а):
Ну, возьмите в качестве $y_i$ числа $\pm 1$

Да, точно, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group