Уравнение в целых, 2 и 4 степень

[ИСН]

scwec в сообщении #933306 писал(а):

Дальше надо исхитриться выделить квадраты из получаемых таким образом длин катетов.

Последовательность ("получаемых таким образом", в которых искать квадраты) Вы описываете ту же, что и я, а дальше начинается какая-то фикция.

[nnosipov]

scwec в сообщении #933306 писал(а):

Дальше надо исхитриться выделить квадраты из получаемых таким образом длин катетов.

Неэлементарно это в общем случае. Я имею в виду то, как выуживают квадраты из решений уравнений типа уравнения Пелля.

Иногда везёт. Например, уравнение $y^4-17=2x^2$ не имеет решений, и это можно установить из рассмотрений по подходящему модулю. Но в случае с уравнением ТС такие фокусы не пройдут, там есть решения.

[scwec]

ИСН в сообщении #933318 писал(а):

Вы описываете ту же, что и я, а дальше начинается какая-то фикция.

Насчет фикции точно. Там были решения с точностью до одной десятимиллионной. Удалил.
Будем посмотреть дальше.

[scwec]

Кроме трех целых решений $(x,y)=(1,0),(1,1),(5,2)$ о которых упомянул ИСН, других нет.
Действительно, $x^2=y^4+(y^2-1)^2$. Для $y>1$ имеем дело с пифагоровым треугольником.
Поскольку $gcd(y^2,y^2-1)=1$, то
1.$y^2=2uv,y^2-1=u^2-v^2$, где $u,v$ натуральные числа разной четности взаимно простые (например, $u$ четное).
Отсюда $2u=m^2,v=n^2$. Получаем биквадратное уравнение $m^4-4n^2{m^2}-4n^4+4=0$.
Решение его $m^2=2n^2\pm{2}\sqrt{2n^4-1}$.Под корнем квадрат целого числа.
Имеем уравнение $2n^4-1=z^2$. Целых решений у него только два (Люингрен). $(n,z)=(1,1),(13,239)$.
Первое дает нам решение $(x,y)=(5,2)$. Второе целых решений $x,y$ не дает.

2.$y^2-1=2uv,y^2=u^2-v^2$, $u-v=m^2,u+v=n^2$.....В конце приходим к решению $n^2=m^2\pm\sqrt{2(m^4-1)}$
Под корнем выражение квадратом быть не может. И здесь целых решений нет.
ч.т.д.

[Naf2000]

scwec в сообщении #933725 писал(а):

Целых решений у него только два (Люингрен)

А ссылкой не поделитесь?

[scwec]

Познакомиться с этим уравнением можно, например, в книжке L.J.Mordell "Diophantnine Equations" 1969 г. стр.271 и её окрестности.