Интегрирование дельта-функций

[Alando]

Здравствуйте. Тут такая проблемка.Как взять такой интеграл от произведения дельта-функций. Свойства я знаю прекрасно,но тут какая то загвоздка. Может есть у кого нибудь уже аналогичный решенный пример или знает как это сделать...
$ \int_0^{a_1} \int_0^{a_2} \int_0^{a_3} f(t_1) \delta (t_1-t_2) \delta (t_1-t_3) dt_1dt_2dt_3 $

[levtsn]

а в имеет ли смысл произведение дельта функций?

[Alando]

levtsn в сообщении #933421 писал(а):

а в имеет ли смысл произведение дельта функций?

Смысл искать не нужно,требуется лишь найти необходимый метод решения .

[amon]

А что мешает сделать замену $t_1-t_2=u$ (остальное оставить как есть)?

[cool.phenon]

levtsn
Вообще говоря, исходя из представлений Шварца о распределениях, многомерная дельта-функция раскладывается в произведение одномерных дельта-функций. Есть нечто поновее, алгебра распределений Коломбо, там получает смысл выражение $\delta^n$, но подробно я рассказать не смогу.

[mihiv]

Для вычисления нужно знать соотношение между $a_1,a_2,a_3$, т.е. ,например, если $a_2>a_1>a_3$, то получим $\int \limits _0^{a_3}f(t)dt$.

[Alando]

amon в сообщении #933449 писал(а):

А что мешает сделать замену $t_1-t_2=u$ (остальное оставить как есть)?

в итоге то, я думаю , надо свести к одномерному интегралу хотя бы ,а там проще будет,но все дело в дельта-функциях. Их надо как то свернуть.

-- 19.11.2014, 19:59 --

mihiv в сообщении #933497 писал(а):

Для вычисления нужно знать соотношение между $a_1,a_2,a_3$, т.е. ,например, если $a_2>a_1>a_3$, то получим $\int \limits _0^{a_3}f(t)dt$.

Да-да. Именно к этому я хотел бы прийти,но нужно ведь еще и аргументировать - каким именно образом остается $f(x)$ под интегралом. Опять же - через свойства,но как именно их использовать в данном случае не до конца понимаю.

[12d3]

А нельзя ли в лоб, по каждой переменной по очереди интегрировать?

[mihiv]

Alando в сообщении #933498 писал(а):

но нужно ведь еще и аргументировать - каким именно образом остается $f(x)$ под интегралом. Опять же - через свойства,но как именно их использовать в данном случае не до конца понимаю.

Аргумент простой, при выбранном соотношении между верхними пределами интегрирования $(a_2>a_1>a_3)$, понятно, что $\delta (t_1-t_3)\equiv 0$ при $t_1>a_3$, поэтому фактически по $t_1$ придется интегрировать лишь от 0 до $a_3$, аналогично при интегрировании по $t_2$. (Предполагается, что в исходном интеграле интегрируем по $t_1$ до $a_1$, по $t_2$ до $a_2$, по $t_3$ до $a_3$.)

[amon]

Перепишите $\int\limits_0^a\dots dt$ как $\int\limits_{-\infty}^\infty\theta(t) \theta(a-t)\dots dt$, сделайте замену $t_1-t_2=u$ и все получится.

[g______d]

levtsn в сообщении #933421 писал(а):

а в имеет ли смысл произведение дельта функций?

В данном случае никаких проблем нет. Перемножать $\delta$-функции от разных переменных всегда можно было.