Доказать равномерную сходимость ряда

[demolishka]

Limit79 в сообщении #933178 писал(а):

отсюда следует, что ряд нигде равномерно не сходится.

Глупости.
Например на множестве $[1;2]$ он сходится равномерно.

[Otta]

Что значит нигде? Отсюда следует, что он не сходится равномерно на множестве $E$, и то только в том случае, если Вы знаете, куда приткнуть $(-1)^n$ в числителе.

[Limit79]

Otta
При $x=0$ ряд вообще не сходится.

На $E= \mathbb R \backslash \{ 0\}$ не сходится равномерно, так как не выполняется необходимый признак.

Все точки из $\mathbb R$ перебрали, поэтому нигде.

Вот с $(-1)^{n-1}$ не знаю что делать

-- 19.11.2014, 04:09 --

Все-таки наверное

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{E} \frac{(-1)^{n-1}}{(x^2+1)^n} = 0$$

-- 19.11.2014, 04:10 --

А в нуле, данный предел вроде не существует.

[demolishka]

Вы когда интересовались необходимым условием равномерной сходимости пользовались тем, что $x$ на вашем множестве $E$ могут быть расположены сколь угодно близко к нулю, отсюда и невыполнение этого самого условия. Так вот, если вы возьмете множество "поменьше", на котором $x$ так близко к нулю уже не подойдут, например $[1;+\infty)$, то такой трюк уже не пройдет. Тут самое время вспомнить признак Вейерштрасса, который вы хотели применить в самом начале.

[Limit79]

demolishka в сообщении #933184 писал(а):

что $x$ на вашем множестве $E$ могут быть расположены сколь угодно близко к нулю, отсюда и невыполнение этого самого условия.

Но ведь вроде выполняется он, я уже запутался

[Otta]

Limit79
Еще раз.
Вы не имеете права говорить слово "равномерно", не оговорив множество. Это делается одновременно.
Понятие равномерной сходимости (или ее отсутствия) привязано к множеству. К всему множеству как объекту. А не к его точкам. Поэтому это

Limit79 в сообщении #933182 писал(а):

Все точки из $\mathbb R$ перебрали, поэтому нигде.

лишено смысла.
Итак, о каком множестве речь?
---

Limit79 в сообщении #933182 писал(а):

Все-таки наверное

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{E} \frac{(-1)^{n-1}}{(x^2+1)^n} = 0$$

А тупо супремум никак не посчитать? И кстати, от чего он там должен быть?

[demolishka]

Limit79 в сообщении #933182 писал(а):

Все-таки наверное

$$\lim\limits_{n \to \infty} \sup_{E} \frac{(-1)^{n-1}}{(x^2+1)^n} = 0$$

Если последовательность стремится к нулю, то любая ее подпоследовательность тоже стремится к нулю. Пусть $n-1$ - четное. Что будет в этом случае?

[Limit79]

demolishka в сообщении #933187 писал(а):

Итак, о каком множестве речь?

Наверное, о $$E= \mathbb R \backslash \{ 0\}$ $

Otta в сообщении #933186 писал(а):

А тупо супремум никак не посчитать?

С этим проблема.

Otta в сообщении #933186 писал(а):

И кстати, от чего он там должен быть?

От $u_{n}(x)$

-- 19.11.2014, 04:25 --

demolishka в сообщении #933187 писал(а):

Пусть $n-1$ - четное. Что будет в этом случае?

Ноль, наверное.

[Otta]

Limit79 в сообщении #933191 писал(а):

От $u_{n}(x)$

Неправда.

Limit79 в сообщении #933191 писал(а):

Наверное, о

$$E= \mathbb R \backslash \{ 0\}$$

Множество ровно то, на котором сказано исследовать на равномерную сходимость, а не то, которое Вы придумаете сами.

[Limit79]

Otta
Но ведь:

Цитата:

Если ряд равномерно сходится на множестве $E$, то последовательность его членов $u_n(x)$ равномерно стремится к нулю на том же множестве.

[Otta]

Ну и напишите, что это значит.

[demolishka]

Limit79 в сообщении #933191 писал(а):

Ноль, наверное.

Вот у вас есть последовательность: $a_n=\sup\limits_E{\frac{1}{(x^2+1)^n}}$
Супремум уж точно не меньше, чем значение в какой-либо точке. Например в точке $x=\frac{1}{\sqrt n}$, которая между прочим лежит в множестве $E$.
То есть, $a_n \geq \frac{1}{(\frac{1}{n}+1)^n}$. Вот сосчитайте предел последовательности в правой части.

[Otta]

demolishka в сообщении #933198 писал(а):

Вот у вас есть последовательность: ...

Что ж так сложно все, когда все должно быть очевидно из графических соображений. (demolishka, это не к Вам, если что. Это только к тому, что не надо подменять суть формалистикой. Пусть уже ТС найдет этот супремум явно. В точности. Ибо нефиг.)

[Limit79]

Я почему-то думал, что если ряд не сходится равномерно на $\mathbb R$, то он не сходится равномерно на любом подмножестве $\mathbb R$, это ведь не так?

-- 19.11.2014, 04:47 --

А вообще говоря, если ряд расходится при $x=0$, то не следует ли из этого, что он не сходится равномерно на любом множестве, которое содержит точку $x=0$, например на $\mathbb R$?

-- 19.11.2014, 04:50 --

Otta в сообщении #933197 писал(а):

Ну и напишите, что это значит.

Я единственный вариант написал, больше не знаю

demolishka в сообщении #933198 писал(а):

То есть, $a_n \geq \frac{1}{(\frac{1}{n}+1)^n}$. Вот сосчитайте предел последовательности в правой части.

$\frac{1}{e}$

[Otta]

Limit79 в сообщении #933200 писал(а):

Я почему-то думал, что если ряд не сходится равномерно на $\mathbb R$, то он не сходится равномерно на любом подмножестве $\mathbb R$, это ведь не так?

Абсолютно не так.

Limit79 в сообщении #933200 писал(а):

Я единственный вариант написал, больше не знаю

Так уточните, каково условие равномерной сходимости последовательности не-важно-куда.