интеграл Лебега

[Oleg Zubelevich]

является ли следующее определение интеграла Лебега эквивалентным стандартному?


Пусть $X$ -- пространство с сигма-алгеброй $\sigma$ и мерой $\mu$.

Функция $\psi:X\to\mathbb{R}$ -- со счетным множеством значений $\{w_1,w_2..\}.$ такова, что $\sum_{i\in\mathbb{N}}|w_i|\mu(S_i)<\infty,\quad S_i=\psi^{-1}(w_i)\in\sigma$ .

По определению положим $\int\psi=\sum_{i\in\mathbb{N}}w_i \mu(S_i)$.

Предположим, что функция $f:X\to \mathbb{R}$ такова, что найдется последовательность функций $\psi_i(x)$, указанного выше вида, такая, что

1) $\int |\psi_i-\psi_j|\to 0$ при $i,j\to\infty$
2) для любого $\epsilon>0$ найдется такое множество $S\in \sigma,\quad\mu(X\backslash S)<\epsilon$, что $\psi_i\to f$ равномерно на $S$.

По определению положим $\int f=\lim_{i\to\infty}\int \psi_i$.

[VladimirKr]

Имхо,
Из пункта 1) следует, что существует конечный предел $$\int{\psi_nd\mu}$, из п 2) легко следует сходимость $\psi_n$ почти всюду к функции $f$, а из всего этого по лемме Фату сходимость под знаком интеграла Лебега.
В обратную сторону легко доказать в случае конечности $$\int{f d\mu}$
не учтен случай бесконечного интеграла Лебега: нет полной совместимости...

(Оффтоп)

а пункт 2) полностью эквивалентен сходимости почти всюду (теорема Егорова). Зачем усложнять?

[Oleg Zubelevich]

VladimirKr в сообщении #932793 писал(а):

случай бесконечного интеграла Лебега

а это что за зверь такой?

VladimirKr в сообщении #932793 писал(а):

а пункт 2) полностью эквивалентен сходимости почти всюду (теорема Егорова).

неверно

[VladimirKr]

Oleg Zubelevich в сообщении #932854 писал(а):

VladimirKr в сообщении #932793 писал(а):

случай бесконечного интеграла Лебега

а это что за зверь такой?

Ну, хорошо, спор терминологический. Легко расширить классическое определение $\int{f}:=$\int{f_+}-$\int{f_-} для случая, когда уменьшаемое или(xor) вычитаемое является бесконечностью. Меня, например, так учили...

Oleg Zubelevich в сообщении #932854 писал(а):

VladimirKr в сообщении #932793 писал(а):

а пункт 2) полностью эквивалентен сходимости почти всюду (теорема Егорова).

неверно

?
Теорема Егорова утверждает что из сходимости почти всюду следует Ваш пункт 2). А я утверждаю, что из Вашего п 2) следует сходимость почти всюду на $X$. Оговорка: $\mu(X)<+\infty$ - но это ведь подразумевается в классическом интеграле Лебега.
$\forall k$ найдется $S_k \in \sigma$, что последовательность $\psi_n$ сходится равномерно на $S_k$, и $\mu(X\setminus S_k)<\frac 1 k$. Положим $A_k=\bigcup\limits_{i=1}^kS_i$. Последовательность $\psi_n$ будет сходится равномерно на $A_k$ (объединение конечного числа множеств, на которых $\psi_n$ сходится равномерно). Легко показать, что последовательность $A_k$ возрастает и в пределе почти равна $X$. Дальше лень писать...

[Oleg Zubelevich]

а Вам сюда писать вообще не следовало.
Вопрос остался.

[VladimirKr]

Oleg Zubelevich в сообщении #932991 писал(а):

а Вам сюда писать вообще не следовало.
Вопрос остался.

Вас не затруднит объяснить, почему? Где ошибки в моих рассуждениях?