Критерий не случайности величины

[upgrade]

Подскажите пожалуйста, есть ли какие-либо признаки того, что набор данных не является значениями одной или нескольких случайных величин?
Например, имеется очень большой набор данных (сотни тысяч).
является ли необходимым признаком закономерности (не случайности) значений этого набора то, что все коэффициенты автокорреляции или их значительное количество равны $1$.
Или требуется доказать, что равенство коэффициентов автокорреляции $1$ - это вообще признак и тем более необходимый?
здесь коэффициенты автокорреляции - это отношение матожидания к дисперсии с соответствующими сдвигами.
например, коэффициент первого порядка

$$r_1=\frac{\sum\limits_{t=2}^{n}(y_t-\bar {y}_1)(y_{t-1}-\bar{y}_2)}{\sqrt{\sum\limits_{t=2}^{n}(y_t-\bar {y}_1)^2\sum\limits_{t=2}^{n}(y_{t-1}-\bar{y}_2)^2}}$$

$$\bar{y}_1=\frac{\sum\limits_{t=2}^{n}y_t}{n-1};\quad\bar{y}_2=\frac{\sum\limits_{t=2}^{n}y_{t-1}}{n-1}$$

предполагаю, что это требуется доказывать.

[provincialka]

прежде чем доказывать критерий, надо дать определение "неслучайной" величины

[upgrade]

provincialka в сообщении #933000 писал(а):

надо дать определение "неслучайной" величины

самое простое - это величина $X$ значения которой упорядочены.

[provincialka]

Возрастают, например? Ну и проверьте, сравните следующее с предыдущим. Как я понимаю, они у вас расположены в определенном порядке (типа временного ряда)?

[upgrade]

provincialka в сообщении #933007 писал(а):

Возрастают, например?

не обязательно. например константа - все значения равны скажем $10$ или две константы - первые $100$ значений равны $50$, следующие $100$ равны $-50$ - это значения случайной величины или нет, или это значения двух (трех, ...) случайных величин, или это комбинации случайных и не случайных величин на каких-то интервалах?

provincialka в сообщении #933007 писал(а):

Ну и проверьте, сравните следующее с предыдущим.

хорошо, проверю для варианта $x_k=k, k=1,2,3...$ результат выложу, но уже не сегодня.

provincialka в сообщении #933007 писал(а):

Как я понимаю, они у вас расположены в определенном порядке (типа временного ряда)?

вот это надо понять - есть там порядок или нет. внешне это все выглядит как хаос.
проблема в том, что если это не хаос, то можно потратить время на выявление порядка.
но если это хаос, то можно не заниматься этими данными - смысла нет.
мне почему-то вспоминаются неравенства Белла, там ведь тоже как-то выясняется случайность имеющихся данных, только я в этом понимаю на уровне популярной литературы.

[--mS--]

upgrade в сообщении #933004 писал(а):

самое простое - это величина $X$ значения которой упорядочены.

А ничего, что значения любой случайной величины (в классическом понимании этого слова) лежат в $\mathbb R$ и, тем самым, всегда упорядочены?

[upgrade]

упорядочены в том смысле, что одни значения можно выразить через другие.

[ИСН]

Неравенства Белла - это вообще из другой оперы. Вам нужен критерий Такенса.

[provincialka]

upgrade, у вас ужасная терминология. Понимаете, слова "случайная величина", "упорядочение", "порядок", "зависимость" - это термины, и математики их так и воспринимают. Вы же придаете им какой-то свой, интуитивный смысл. Мы не понимаем.
Вот, например. Ваши данные, как я понимаю - это набор числовых значений. Они пронумерованы? Или их можно свободно переставлять? В первом случае их можно рассматривать как аналог временного ряда. Во втором - как выборку из случайной величины. Но ни в том, ни в другом случае не как случайную величину.

[dsge]

upgrade в сообщении #932999 писал(а):

является ли необходимым признаком закономерности (не случайности) значений этого набора то, что все коэффициенты автокорреляции или их значительное количество равны $1$.

Какие автокорреляции будут у детерминированных процессов: $y_{t+1}=-y_t$ или $y_{t}=(-1)^t$ или $y_t = \sin\pi t/2$?

[upgrade]

посчитал (надеюсь правильно)
для натурального ряда до значения $17983$ коэффициенты
$r_{01}=1$
$r_{02}=0,99999998$
$r_{03}=0,99999983$
$r_{04}=0,99999970$
$r_{05}=0,99999954$
$r_{06}=0,99999933$
$r_{07}=0,99999909$
$r_{08}=0,99999881$
$r_{09}=0,99999850$
$r_{10}=0,99999814$

dsge в сообщении #933125 писал(а):

$y_{t}=(-1)^t$

для этой последовательности, кроме $r_{02}=-0,99999999$, первые 10 коэффициентов $r_{01...10}=-1$

dsge в сообщении #933125 писал(а):

$y_t = \sin\pi t/2$

для $y=x^2$
$r_{01}=1$
$r_{02}=0,99999998$
$r_{03}=1,00010412$
$r_{04}=1,00010400$
$r_{05}=1,00010385$
$r_{06}=1,00010367$
$r_{07}=1,00010345$
$r_{08}=1,00010319$
$r_{09}=1,00010290$
$r_{10}=1,00010257$

для сравнения: если в качестве данных взять первые $17983$ разниц между соседними простыми числами, коэффициенты примерно равны $-0.06$, а для отношений коэффициенты примерно $0.8$)

dsge в сообщении #933125 писал(а):

$y_t = \sin\pi t/2$

для $y_t = \sin\pi t/2$
первые десять коэффициентов примерно $0.99963$

[provincialka]

Какие странные значения. Как это у последовательностей, которые отличаются на константу (натуральный ряд) корреляции не равны 1?

[upgrade]

provincialka в сообщении #933029 писал(а):

Вы же придаете им какой-то свой, интуитивный смысл. Мы не понимаем.

случайная величина - это величина, значения которой нельзя предсказать.
упорядочение данных - это такая их комбинация, которая однозначно определяет следующее значение величины. простейшее это сортировка - следующее значение всегда больше (или меньше) предыдущего.
определение зависимости такое же как у математиков, возможно я его просто плохо знаю.

provincialka в сообщении #933029 писал(а):

Ваши данные, как я понимаю - это набор числовых значений. Они пронумерованы?

они пронумерованы, но они по времени поступают одновременно.
представьте себе ряд касс в супермаркете, кассы пронумерованы, но эти номера мало что значат, никакой связи между номером кассы и количеством денег, которые оставляют покупатели на кассе, нет.

provincialka в сообщении #933029 писал(а):

Или их можно свободно переставлять?

снова вернусь к кассам - кассы можно перенумеровать, но никакой новой информации это не несет.

provincialka в сообщении #933029 писал(а):

В первом случае их можно рассматривать как аналог временного ряда. Во втором - как выборку из случайной величины. Но ни в том, ни в другом случае не как случайную величину.

пронумеровав кассы, мы получим в течение двух минут 100 данных - они все случайная величина, хотя и пронумерованная.

[provincialka]

О, боже! На язык просятся выражения, которые говорить запретили... А как вам такое:

Случайная величина это функция от случайного события. Случайное событие - это элемент соответствующей сигма-алгебры.

Упорядочение (множества) - введение на нем отношения порядка (возможно, частичного). Порядок - это антисимметричное транзитивное отношение.

Зависимость (функцию) можно ввести между двумя множествами. Элементы одного из них будут аргументами, другого - значениями. Второе множество может совпадать с первым. Элементами обоих множеств могут быть произвольные объекты, в том числе числа и наборы чисел.

[upgrade]

provincialka в сообщении #933405 писал(а):

Как это у последовательностей, которые отличаются на константу (натуральный ряд) корреляции не равны 1?

так всегда с конечными наборами данных.
это погрешности расчетов с конечными наборами. если взять набор из 10 данных разброс еще сильнее будет от $1$.
$17983$ это немного.
для бесконечностей видимо будет $1$ для всех коэффициентов. собственно потому и вопрос возник - является ли получение при обработке данных коэффициентов автокоррелляции $1$ признаком того, что данные эти не случайны. то есть необходимое условие того что данные - это значения функции: коэффициенты автокорреляции близки к $1$ на большой выборке.