Корректно ли заданы условия задачи мат. физики на диффузию?

[Владимир_Фомин]

Один из студентов просил меня помочь ему решить такую задачу.

Найти распределение концентрации неустойчивого газа, диффундирующего в бесконечном слое 0 ≤x ≤пи/2, минус бесконечность ≤y,z ≤ бесконечность, если скорость распада частиц газа пропорциональна его концентрации (коэффициент пропорциональности равен 1) при наличии объёмных источников газа с плотностью мощности f(x,t)=2sin(x)*cos(3x). На поверхности х=0 поддерживается концентрация газа, равная нулю, а через правую границу х=пи/2 внутрь слоя подаётся поток газа q=1. Коэффициент диффузии равен 1. Начальная концентрация с(х,0)=х.


Дифференциальное уравнение к этой задаче я записал верно вроде бы:

$\[ \frac{{\partial n(x,t)}}{{dt}} = D \cdot \frac{{\partial ^2 n(x,t)}}{{\partial x^2 }} - n(x,t) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (3 \cdot x) \]$

Начальное условие:

$\[ n(x,0) = x \]$

Первое граничное условие тоже вроде бы записано верно:

$\[ n(0,t) = 0 \]$

А вот в написании второго граничного условия я допустил, наверное, серьёзную ошибку:

$\[ \frac{{\partial n(\frac{\pi }{2},t)}}{{\partial x}} = - 1 \]$

Так как решая это дифференциальное уравнение, удовлетворяющее этим трём условиям, я в ответе получил неверный результат с точки зрения физики: в некоторых точках концентрация оказалась отрицательной величиной.

Думаю, что я допустил ошибку, взяв частную производную по координате.
Поток газа - это количество частиц, проходящих в единицу времени через единичную поверхность? Или я ошибаюсь?
Тогда нужно брать производную от концентрации по времени, а не по координате? Или может быть, надо брать смешанную вторую производную? К сожалению, я совсем не разобрался, как составлять граничное условие для такой задачи.

[LynxGAV]

Уравнение записано правильно с D=1. Частная производная во втором гран. условии должнa быть именно по координате, но надо поменять знак (черех х=0 было бы с минусом).

Добавлено спустя 43 минуты 9 секунд:

Re: Как записать граничное условие к уравнению мат физики?

Владимир_Фомин писал(а):

Думаю, что я допустил ошибку, взяв частную производную по координате.
Поток газа - это количество частиц, проходящих в единицу времени через единичную поверхность? Или я ошибаюсь?

В данном случае, поток газа (количество вещества, диффундирующее в единицу времени в направлении оси $x$ через площадку $S$, перпендикулярную к оси $x$) по закону Нернста (диффузии) равен:

$q=- \ S \ D \ \frac{\partial u}{\partial x}$,

потому поток извне задается так, как я сказала (полагая все константы 1).

Задачи на диффузию аналогичны задачам на распространение тепла.

[Владимир_Фомин]

То есть вместо (-1) в этом граничном условии надо взять 1? И этот случай я тоже рассмотрел.

$\[ \frac{{\partial n(x,t)}}{{dt}} = D \cdot \frac{{\partial ^2 n(x,t)}}{{\partial x^2 }} - n(x,t) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (3 \cdot x) \]$
$\[ n(x,0) = x \]$
$\[ n(0,t) = 0 \]$
$\[ \frac{{\partial n(\frac{\pi }{2},t)}}{{\partial x}} = 1 \]$
Сделаем замену n(x,t) на V(x,t) , где V(x,t)=n(x,t)-x
$ \[ \begin{array}{l} V(x,t) = n(x,t) - x \\ n(x,t) = V(x,t) + x \\ \end{array} \] $
Получим диф. уравнение и три условия:
$ \[ \begin{array}{l} \frac{{\partial V(x,t)}}{{\partial t}} = D \cdot \frac{{\partial ^2 V(x,t)}}{{\partial x^2 }} - V(x,t) - x + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (3 \cdot x) \\ V(0,t) = 0 \\ \frac{{\partial V(\frac{\pi }{2},t)}}{{\partial x}} = 0 \\ V(x,0) = 0 \\ \end{array} \] $
Решение ищем в виде:
$ \[ V(x,t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {T(t,k) \cdot X(x,k)} \] $
Подставим V(x,t) в дифференциальное уравнение
$ \[ \sum\limits_{k = 1}^\infty {X(x,k) \cdot \frac{{\partial T(t,k)}}{{\partial t}} = } - x + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (3 \cdot x) + \sum\limits_{k = 1}^\infty {T(t,k) \cdot \left( {\frac{{\partial ^2 X(x,k)}}{{\partial x}} - X(x,k)} \right)} \]$
Из решения однородного уравнения
$ \[ \sum\limits_{k = 1}^\infty {X(x,k) \cdot \frac{{\partial T(t,k)}}{{\partial t}} = } \sum\limits_{k = 1}^\infty {T(t,k) \cdot \left( {\frac{{\partial ^2 X(x,k)}}{{\partial x}} - X(x,k)} \right)} \] $
удовлетворяющего двум граничным условиям
$ \[ \begin{array}{l} X(0,k) = 0 \\ \frac{{\partial X(\pi /2,k)}}{{dx}} = o \\ \end{array} \] $
я нашёл и доказал, что нетривиальному решению при данных граничных условиях удовлетворяет только система функций
$\[ X(x,k) = \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \]$
Легко доказывается ортогональность этой системы функций на отрезке от 0 до Pi/2 при натуральных k, начиная от 1. (Не буду приводить здесь выкладки). Далее я раскладываю в ряд:
$ \[ x - 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (3 \cdot x) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {a(k) \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right)} \] $
Не приводя громоздких вычислений, приведу правильный и проверенный результат для коэффициентов a(k):
$ \[ a(k) = \frac{{2 \cdot \left( { - 1} \right)^k }}{\pi } \cdot \left( {\frac{2}{{\left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 }} + \frac{1}{{2 \cdot k + 3}} - \frac{1}{{2 \cdot k - 5}} + \frac{1}{{2 \cdot k + 1}} - \frac{1}{{2 \cdot k - 3}}} \right) \] $
Подставим в неоднородное дифференциальное уравнение решение:
$ \[ V(x,t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {T(t,k) \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right)} \] $
Получим, что для любого натурального k выполняется:
$ \[ \frac{{\partial T(t,k)}}{{dt}} = a(k) - \left[ {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right] \cdot T(t,k) \] $
Дифференциальное уравнение:
$ \[ \frac{{\partial T(t,k)}}{{dt}} + \left[ {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right] \cdot T(t,k) = a(k) \] $
имеет общее решение:
$ \[ T(t,k) = C(k) \cdot e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} + \frac{{a(k)}}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}} \] $
Но, по условию
$ \[ V(0,t) = 0 \] $
Следовательно,
$ \[ T(0,k) = 0 \] $
И частное решение, удовлетворяющее этому условию:
$ \[ T(t,k) = \frac{{a(k)}}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}} \cdot \left( {1 - e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} } \right) \] $
Найдена функция V(x,t):
$ \[ V(x,t) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a(k)}}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}}} \cdot \left( {1 - e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} } \right) \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $
окончательный ответ задачи, то есть зависимость концентрации от координаты и времени, выглядит так:
$ \[ n(x,t) = x + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a(k)}}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}}} \cdot \left( {1 - e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} } \right) \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $
где
$ \[ a(k) = \frac{{2 \cdot \left( { - 1} \right)^k }}{\pi } \cdot \left( {\frac{2}{{\left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 }} + \frac{1}{{2 \cdot k + 3}} - \frac{1}{{2 \cdot k - 5}} + \frac{1}{{2 \cdot k + 1}} - \frac{1}{{2 \cdot k - 3}}} \right) \] $

Тем не менее, хотя я внимательно проверил много раз все выкладки, ответ опять получается не вполне корректный, и в некоторых точках концентрация получается отрицательной, что абсурдно с точки зрения физики.

N:=0;   
for k:=1 to M do
begin
   a:=2*cos(Pi*k)/Pi*(2/(2*k-1)/(2*k-1)+1/(2*k+3)-1/(2*k-5)+1/(2*k+1)-1/(2*k-3));
   N:=N+a/(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*(1-exp(-(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*t))*sin((2*k-1)*x);
end;
N:=N+x;

Если x = 1, t = 2, то n(x,t)= - 0,036594129811601

Концентрация получается отрицательной, что абсурдно с точки зрения физики.
Следовательно, условия этой задачи заданы некорректно.

[LynxGAV]

Владимир_Фомин писал(а):

То есть вместо (-1) в этом граничном условии надо взять 1? И этот случай я тоже рассмотрел.

Концентрация получается отрицательной, что абсурдно с точки зрения физики.
Может быть, условия этой задачи заданы некорректно?

Да, я считаю, что надо положить +1.


Если концентрация получается отрицательной, то действительно абсурдно, тем не менее не похоже, чтобы условие было некорректным (условие как условие). Может быть все-таки с решением что-то не так?

Каким Вы задаете значение коэффициента диффузии в своей программе?

[Владимир_Фомин]

Всё в программе верно написано. Коэффициент диффузии D=1 я задаю в редакторе кода Edit1 на Delphi, как и число суммируемых членов ряда M=100000 в редакторе кода Edit2. Ввожу также координату и время.

[нг]

Владимир_Фомин
Для текстов программ лучше использовать тег [code]. Я исправил Ваше последнее сообщение.

[LynxGAV]

Смотрите, новое уравнение для $V(x,t)$ подстановкой $V(x,t)=e^{-t}u(x,t)$ приводится к виду $u_t=Du_{xx}+f(x,t)$ c однородными условиями, которое может оказаться проще первого (уже его решение или решение ему подобных есть в учебнике Тихонов, Самарский "Уравнения математической физики").

[Владимир_Фомин]

Стал проверять в Mathcad. Решение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению, а вот граничному условию при x=Pi/2 не удовлетворяет. Я сразу же нашёл ошибку в своих выкладках. Оказывается, я просто допустил самую элементарную невнимательность. И раскладывать надо по синусам, а не по косинусам.
Я ошибся, когда написал:
$ \[ X(x,k) = \cos \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $
Правильно будет записать так:
$ \[ X(x,k) = \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $
Все дальнейшие выкладки придётся изменить. Надеюсь, что результат теперь получится корректный. Прошу прощения за элементарную невнимательность, которую я допустил при решении. И хочу сказать огромное спасибо за то, что объяснили, как правильно записывать граничное условие для этой задачи

[LynxGAV]

Я понимаю, что ваше решение вам дороже (я в него не сильно вникала; раскладывать по синусам или косинусам становится ясно из решения однородного уравнения), а мне моё кажется более простым. Будем проверять теорему единственности!

[Владимир_Фомин]

В этот раз всё досконально проверил, убедился в правильности своего решения, даже составил программу, вычисляющую разницу между правой и левой частями дифференциального уравнения, и по абсолютной величине и как относительную погрешность. Убедился в том, что найденное мной решение удовлетворяет дифференциальному уравнению и всем трём условиям.

Procedure Pdif3;
var
  D: real;
  M: integer; {число членов суммируемого ряда}
  x: real; {координата}
  t: real; {время}
  a: real;
  N: real;  {искомая величина n(x, t)}
  V: real;  {производная от n(x, t) по времени t: dn(x, t)/dt}
  G: real;  {производная от n(x, t) по координате x: dn(x, t)/dx}
  L: real; {вторая производная от n(x, t) по координате x: dn2(x, t)/dx2}
  k: integer; {номер члена ряда}
begin
  D:= StrToFloat(Form1.Edit1.Text);
  M:=StrToInt(Form1.Edit2.Text);
  x:= StrToFloat(Form1.Edit3.Text);
  t:= StrToFloat(Form1.Edit4.Text);
  if x>Pi/2 then
     begin
        Form1.Edit3.Text:='';
        Showmessage('Введите координату x<Pi/2');
     end;
  N:=0;
  V:=0;
  G:=0;
  L:=0;
  for k:=1 to M do
  begin
  a:=2*cos(Pi*k)/Pi*(2/(2*k-1)/(2*k-1)+1/(2*k+3)-1/(2*k-5)+1/(2*k+1)-1/(2*k-3));
  N:=N+a/(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*(1-exp(-(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*t))*sin((2*k-1)*x);
  V:=V+a*exp(-(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*t)*sin((2*k-1)*x);
  G:=G+a*(2*k-1)/(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)
     *(1-exp(-(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*t))*cos((2*k-1)*x);
  L:=L-a*(2*k-1)*(2*k-1)/(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)
     *(1-exp(-(D*(2*k-1)*(2*k-1)+1)*t))*sin((2*k-1)*x);
  end;
  N:=N+x;
  G:=G+1;
  Form1.Edit5.Text:=FloatToStr(N);
  Form1.Edit6.Text:=FloatToStr(V);
  Form1.Edit7.Text:=FloatToStr(G);
  Form1.Edit8.Text:=FloatToStr(L);
  Form1.Edit9.Text:=FloatToStr(D*L-N+2*sin(x)*cos(3*x));
  Form1.Edit10.Text:='погрешность = '+FloatToStr(D*L-N+2*sin(x)*cos(3*x)-V);
  Form1.Edit11.Text:='относительная погрешность = '
                      +FloatToStr((D*L-N+2*sin(x)*cos(3*x)-V)/V);
end;

Результат всё равно получается отрицательный при некоторых x и t.
x=0, 9
t=5
n(x,t)= -0,071553476574224
dn(x,t)/dt = -8,75417218705251E-5
dn(x,t)/dx = 0,0882108650274116
d2n(x,t)/dx2 = 1,34472705579521
погрешность = -8,17395982171711E-11
относительная погрешность = 9,33721618339477E-7

Решение правильное - даже относительная погрешность, характеризующая относительную разницу между правой и левой частями диф. уравнения, ничтожно мала.
А концентрация получается отрицательной.

Вот такой ответ:

$ \[ n(x,t) = x + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a(k)}}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}}} \cdot \left( {1 - e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} } \right) \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $

где

$ \[ a(k) = \frac{{2 \cdot \left( { - 1} \right)^k }}{\pi } \cdot \left( {\frac{2}{{\left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 }} + \frac{1}{{2 \cdot k + 3}} - \frac{1}{{2 \cdot k - 5}} + \frac{1}{{2 \cdot k + 1}} - \frac{1}{{2 \cdot k - 3}}} \right) \] $

А Вы своим способом получили точно такой же результат?

Для проверки используем следующие величины:

Производная от концентрации по времени:

$\[ \frac{{\partial n(x,t)}}{{\partial t}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {a(k)} \cdot e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $

Производная от концентрации по координате:

$\[ \frac{{\partial n(x,t)}}{{\partial x}} = 1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a(k) \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)}}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}}} \cdot \left( {1 - e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} } \right) \cdot \cos \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $

Вторая производная от концентрации по координате:

$\[ \frac{{\partial ^2 n(x,t)}}{{\partial x^2 }} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{a(k) \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 }}{{D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1}}} \cdot \left( {e^{ - \left( {D \cdot \left( {2 \cdot k - 1} \right)^2 + 1} \right) \cdot t} - 1} \right) \cdot \sin \left( {\left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot x} \right) \] $

Cуммирование ряда начинаем с 1, а не с 0, так как, если суммировать, начиная с 0, система функций sin((2*k-1)*x) уже не будет ортогональной на отрезке [0,Pi/2].

И ещё, так как мы тут почленно ряды дифференцируем и интегрируем, то, наверное, надо бы проверить их абсолютную сходимость.

Я сам пока не считал этот предел, но для признака Даламбера Mathcad даёт:

$ \[ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{a(k + 1)}}{{a(k)}} = - 1 \]$

То есть неприменим этот признак Даламбера. Из Фихтенгольца я , правда, узнал о более сильном признаке сходимости - признаке Раабе.

[ИСН]

Товарищи дорогие, зачем сходимость, зачем единственность? У вас икс меняется докуда? До пи/2? А объёмный источник какой? Что-то-там на cos(3x)? Дак я вас поздравляю: при иксах от пи/6 и выше этот источник превращается, хе-хе, в адский пылесос, так что появление антиматерии совершенно ожидаемо и понятно.

[Владимир_Фомин]

Игорь селезнёв писал:

Цитата:

Владимир, я знаю, вы любите задачи по высшей математики и, в частности, по математической физике. У меня есть для вас деловое предложение. Я вам предлагаю решить вот такую задачу.

Найти распределение концентрации неустойчивого газа, диффундирующего в бесконечном слое 0<=x<=пи/2, минус бесконечность <y,z < бесконечность, если скорость распада частиц газа пропорциональна его концентрации (коэффициент пропорциональности равен 1) при наличии объёмных источников газа с плотностью мощности f(x,t)=2sin(x)*cos(3x). На поверхности х=0 поддерживается концентрация газа, равная нулю, а через правую границу х=пи/2 внутрь слоя подаётся поток газа q=1. Коэффициент диффузии равен 1. Начальная концентрация с(х,0)=х.

Я знаю, что вам это небезынтересно, но обращаюсь я к вам в связи с собственной нехваткой времени, поэтому мне бы хотелось по возможности ограничить своё личное вмешательство в ход решения. Прошу вас решить задачу в кратчайший срок, а также в ответе на это сообщение опубликовать денежную сумму, за которую вы согласны ей заняться.

С уважением, Игорь Селезнёв.

Я ему ответил так:

Мне кажется, что или условия задачи заданы некорректно, или в решении этой задачи нужны дополнительные приёмы, которые я не догадался использовать. Ваша плотность мощности источников принимает отрицательное значение в некоторых точках.
Например, при x=1
Ну, этому ещё можно придать физический смысл: в тех точках, где плотность мощности источников отрицательна, частицы не появляются, а исчезают внутри этих "источников".
Но вот отрицательному значению концентрации нельзя придать физического смысла, а решение этого дифференциального уравнения при x=1 и при t=2 отрицательно.
Эта задача не имеет решений в принципе, так как в точках, где плотность источников отрицательна, иной раз частиц газа не хватает для того, чтобы удовлетворить эту плотность источников.
Так что пока об оплате говорить рано. Ответ у меня неверный получился.
Может быть, в задаче подразумевается, что плотность мощности источников всюду положительна, то есть равна
не f(x,t)=2sin(x)*cos(3x).
а f(x,t)=модуль (2sin(x)*cos(3x)).
Тогда надо будет разложить в ряд по Cos(2*k-1) на [0,Pi/2)
функцию -x+модуль(2sin(x)*cos(3x)) ,
то есть
x+2sin(x)*cos(3x) , 0<x<Pi/6.
x-2sin(x)*cos(3x), Pi/6<x<Pi/2.

Итак, я задал Игорю такой вопрос.
Может быть, в задаче подразумевается, что плотность мощности источников всюду положительна, то есть равна
не $\[ f(x,t) = 2 \cdot \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( {3 \cdot x} \right) \] $ , а $\[ f(x,t) = \sqrt {\left( {2 \cdot \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( {3 \cdot x} \right)} \right)} ^2 \] $
то есть
$\[f(x,t) = 2 \cdot \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( {3 \cdot x} \right)\]$ при $\[0 \le x \le \frac{\pi }{6}\]$

$\[ f(x,t) = - 2 \cdot \sin \left( x \right) \cdot \cos \left( {3 \cdot x} \right) \] $ при $\[ \frac{\pi }{6} \le x \le \frac{\pi }{2} \] $
Думаю, что она будет давать корректные положительные значения концентрации газа.
Подождите несколько часов, я запишу решение и этой задачи.

Я бы легко разложил в ряд и модуль от этой функции, то есть неотрицательную величину. Но Игорь Селезнёв на это ответил так:

Цитата:

Нет, Владимир, в том, что плотность источников задана корректно, сомнений нет. Она может быть отрицательной (отрицательная дивергенция означает наличие стоков силовых линий поля, точно так же частицы могут не только рождаться, но и уничтожаться.) А вот что касается граничного условия, то тут возможна как ваша ошибка в знаке, так и некорректное их задание по условию, т.е. несоответствие физической картине процесса.

Вот, выходит, что он действительно разыграл меня, пошутил, и эта задача в принципе не имеет решения.

[ИСН]

Таки да, Владимир, сомнений нет, только совершенно в обратном. Ну ёлки, ну смотрите. Член с $-n(x,t)$ в диффуре логичен и физичен: отбираем частицы, сообразуясь с тем, сколько их там всего. А отрицательный (и постоянный, не зависящий от n) член - не физичен! Частицы все кончились, а мы ему говорим: ДАВАЙ ЕЩЁ, СВОЛОЧЬ! И что бедному налогоплательщику делать?
Я же говорю - адский пылесос.

[Владимир_Фомин]

ИСН писал(а):

Таки да, Владимир, сомнений нет, только совершенно в обратном. Ну ёлки, ну смотрите. Член с $-n(x,t)$ в диффуре логичен и физичен: отбираем частицы, сообразуясь с тем, сколько их там всего. А отрицательный (и постоянный, не зависящий от n) член - не физичен! Частицы все кончились, а мы ему говорим: ДАВАЙ ЕЩЁ, СВОЛОЧЬ! И что бедному налогоплательщику делать?
Я же говорю - адский пылесос.

Вот и мне точно такая же мысль пришла в голову. Вы буквально высказали мою мысль. Только я часто сомневался в том , что эта задача не имеет решения.

Скорее всего, эта задача решения не имеет: частиц просто не хватит для того, чтобы обеспечить заданную отрицательную мощность источников (этого пылесоса).

Но иногда думалось: не надо ли просто заменить всюду отрицательное значение концентрации нулём, и это принять за ответ? Скорее всего, этого делать нельзя, так как при нулевой концентрации заданная работа этого "пылесоса" с указанной в условии отрицательной мощностью всё равно будет невозможна.

То есть всё-таки у этой задачи имеется пустое множество всюду неотрицательных решений, и никакая неотрицательная функция этому уравнению и данным условиям удовлетворять не может. Да и тот же вывод можно сделать из того, что решение единственно, и оно принимает отрицательные значения. Следовательно, решения, которое не принимало бы неотрицательных значений, не существует.

[LynxGAV]

ИСН писал(а):

Товарищи дорогие, зачем сходимость, зачем единственность?

Уважаемый товарищ! Это было нечто вроде шутки, сказанной к тому, что стоит обратить внимание на второе предложенное решение (решение первого я не проверяла).

Владимир_Фомин, если у Вас еще есть сомнения по поводу правильности второго граничного условия, смотрите Будак, Самарский, Тихонов "Сборник задач по математической физике" (стр. 282-283).

Берем за основу задачу:

$ \[ \begin{array}{l} V_t(x,t) = V_{xx}(x,t) - V(x,t) - x + 2 \sin{x} \cos3x, \\ V(0,t) = 0 \\ V_x(\frac{\pi }{2},t) = 0 \\ V(x,0) = 0 \\ \end{array} \

Продолжает фигурировать $V(x,t)$, потому делаем замену $V(x,t)=e^{-t}u(x,t)$. Условия остаются однородными, а уравнение упрощается $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)+f(x,t)$ (*), где $f(x,t)=e^t (2\sin{x}\cos3x-x)$.

Ищем решение $u(x,t)$ в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи для однородного уравнения [$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ c однородными условиями $u(0,t)=0, \ u_x(\frac{\pi }{2},t) = 0$]: $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} {u_n(t) \sin{(2n+1)x}}$. Далее разложим в ряд функцию $f(x,t)$: $e^t (2\sin{x}\cos3x-x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{f_n(t) \sin{(2n+1)x}}$. Из теории рядов Фурье получаем коэффициенты $f_n(t)=e^t\frac{4}{\pi}\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{(2\sin{x}\cos3x-x) \ \sin{(2n+1)x} \ dx}$ (интеграл берется и вроде даже неплохо упрощается, но ответ громоздкий, потому не выписываю).

Подставляем все в уравнение (*): $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sin{(2n+1)x}\left[\dot u_n(t)+(2n+1)^2u_n(t)-f_n(t)\right]=0$. Приравнивая нулю коэффициенты, получем ОДУ первого порядка: $\dot u_n(t)+(2n+1)^2u_n(t)=f_n(t)$. Воспользуемся начальным условием для $u(x,t)$: $u(x,0)=0=\sum\limits_{n=0}^{\infty}u_n(0)\sin(2n+1)x$, т.е. все $u_n(0)=0$. Решение ОДУ записывается в виде $u_n(t)=\int\limits_0^t e^{-(2n+1)^2(t-\tau)} f_n(\tau)d\tau$.

Ответ:

$n(x,t)=x+V(x,t)=x+e^{-t}u(x,t)=x+e^{-t}\sum\limits_{n=0}^{\infty} {u_n(t) \sin{(2n+1)x}}=$$x+e^{-t}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( \int\limits_0^t e^{-(2n+1)^2(t-\tau)} f_n(\tau)d\tau \right) \sin{(2n+1)x}$.

Добавлено спустя 1 час 16 минут 34 секунды:

Владимир_Фомин писал(а):

Результат всё равно получается отрицательный при некоторых x и t.
x=0, 9
t=5
n(x,t)= -0,071553476574224

Вот вам и теорема единственности .

Для х=0.9, t=5, n=100 000, моё решение дает n(x,t)=-0.07155347657422118. Поэтому можете даже не проверять. Поскольку вы уже опробовали решение с "граничным условием с минусом", и нет причин думать, что оно не правильно, обсуждение этой задачи можно прекращать. Представьте господину, который вас надоумил эту задачу решить, два разных решения и два варианта гран. условий, пусть оплачивает!