Задача из аналитической геометрии

[Slow]

Найти геометрическое место точек из которых можно провести взаимно перпендикулярные касательные к эллипсу $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Я пробовал взять произвольную касательную к эллипсу $\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$, затем строил перпендикулярную ей вторую касательную и пытался найти точку пересечения, но там получаются ужасные выражения. Думаю надо как то в обход делать, но не понимаю как.

[provincialka]

Я знаю одно решение, только эта задача олимпиадная.

Лучше через искомую точку $(x, y)$ провести прямую (в параметрической форме) и сформулировать условие ее касания с эллипсом (через дискриминант). И такое же - для перпендикулярной прямой.

[Slow]

Параметрическое задание прямой: $x=x_0 + k_1t, y=y_0+k_2t$, условие касания с эллипсом получилось такое:
${(\frac{k_2}{k_1}+\frac{x_0y_0}{a^2-x_0^2})}^2=\frac{y_0^2a^2+b^2x_0^2-b^2a^2}{a^2-x_0^2}$
правильно?

[provincialka]

Может, не знаю... У меня в решении оно без дробей. Довольно несложное выражение, квадратичное относительно $k_1,k_2$

[arseniiv]

А можно и так: параметризовав эллипс, можно, взяв одну точку на нём, получить вторую, касательная к которой перпендикулярна первой, и оба касательных вектора. Остаётся решить линейную систему $\mathbf r_1 + \lambda\boldsymbol\tau_1 = \mathbf r_2 + \mu\boldsymbol\tau_2$, и то найти только одно из $\lambda,\mu$. Возни, правда, много; её можно немного сократить, сразу же введя сокращения $c=\cos t,s=\sin t$.

По-моему, олимпиадная если что для школы.

[provincialka]

arseniiv. может, только в школе ни эллипс, ни тем более, касательные к нему не проходят.

-- 16.11.2014, 22:30 --

Slow, кстати, у вас точка $(x_0,y_0)$ лежит на эллипсе? Я предлагала взять точку на искомом ГМТ, если что.

[arseniiv]

Потому и олимпиадная! Хм, да, получается, что для второго курса уже точно не, и для конца школы ещё точно не… В общем, надеюсь, мой метод решения тоже пригоден на практике.

[provincialka]

(школьникам?)

Посмотрела бы я, что бы с нами сделали, если бы мы такую задачу на олимпиаде для школьников предложили Нам даже логарифмы включать не дают, потому что в некоторых школах их проходят во втором полугодии 11 класса.

[Slow]

Выпишу ход решения:
$\frac{x_0^2+2k_1tx_0+k_1^2t^2}{a^2}+\frac{y_0^2+2k_2ty_0+k_2^2t^2}{b^2}=1$
$t^2(\frac{k_1^2}{a^2}+\frac{k_2^2}{b^2})+2t(\frac{k_1x_0}{a^2}+\frac{k_2y_0}{b^2})+\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1$=0
$D = 4(\frac{k_1^2x_0^2}{a^4}+\frac{2k_1k_2x_0y_0}{a^2b^2}+\frac{k_2^2y_0^2}{b^4})-4(\frac{k_1^2}{a^2}+\frac{k_2^2}{b^2})(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1)=0$
$\frac{k_1^2}{a^2}+\frac{k_2^2}{b^2}+\frac{2k_1k_2x_0y_0}{a^2b^2}-\frac{k_2^2x_0^2}{b^2a^2}-\frac{k_1^2y_0^2}{b^2a^2}=0$
Делим все на $k_1$ и делаем замену $z=\frac{k_2}{k_1}$
$z^2(a^2-x_0^2)+2z\frac{x_0y_0}{a^2b^2}+b^2-y_0^2=0$
$D=4(y_0^2a^2+b^2x_0^2-b^2a^2)$
Ну и дальше ответ который я писал выше.
И дальше ничего хорошего у меня не получилось.
Точку я беру не на эллипсе.

[provincialka]

arseniiv в сообщении #932062 писал(а):

В общем, надеюсь, мой метод решения тоже пригоден на практике.

А вы попробуйте! Интересно, сколько будет страниц выкладок?

-- 16.11.2014, 22:45 --

Slow в сообщении #932071 писал(а):

$z^2(a^2-x_0^2)+2z\frac{x_0y_0}{a^2b^2}+b^2-y_0^2=0$

Вот, вот! Примерно это уравнение. Только проверьте среднее слагаемое: там, вроде, не должно быть знаменателя. Впрочем, это слагаемое нам как раз и не особо нужно.

А что изменится, если взять перпендикулярную прямую?

(Оффтоп)

Кстати, не обязательно было переходить к отношению $z$.

[arseniiv]

provincialka в сообщении #932073 писал(а):

А вы попробуйте! Интересно, сколько будет страниц выкладок?

Так попробовал ведь (иначе бы не писал, боюсь ерунду предложить). Нашёл $\mu$ в виде дроби от $a,b,c,s$, не сильно большой. Семь умножений, четыре возведения в квадрат, минус и два плюса. Дальше не упрощал, от $t$ тоже не избавлялся. Если надо избавиться — тогда могут и пойти сложности, наверно.

-- Пн ноя 17, 2014 02:01:04 --

arseniiv в сообщении #932079 писал(а):

Нашёл $\mu$

Пары десятков строк хватило.

[Slow]

Да, в среднем слагаемом я описался, дальше все выкладки мои лишними были. Получается гмт это окружность:$x^2+y^2=a^2+b^2$

[provincialka]

Slow Точно!

-- 16.11.2014, 23:15 --

arseniiv в сообщении #932079 писал(а):

Пары десятков строк хватило.

Вы прямо трудоголик! А уравнение из этого сразу получается?
В решении Slow четыре строки привели к основному соотношению, из которого постой заменой $(k_1,k_2)$ на $(-k_2,k_1)$ получаем второе соотношение, сумма этих двух дает ответ.

Но тут уж возникает "философский" вопрос: что лучше - естественное, но длинное решение, или краткое но "с изюминкой". То ли придет этот изюм в голову, то ли нет...

(Оффтоп)

Мне всегда бывает жаль, что при составлении олимпиады задачки приносят уже с решением: не получается оценить "на себе" их сложность. Кстати, пора уже макет новой студенческой олимпиады формировать: скоро 1 декабря, день рождения Лобачевского.

[ИСН]

То есть эллипс подобен отрезку - в том смысле, что у того ГМ точек, из которых он виден под прямым углом, тоже будет окружность.
Хм, ну надо же.

[provincialka]

ИСН, да, забавно! Хотя скорее уж надо формулировать так: отрезок, как вырожденный эллипс, имеет такое же ГМТ "видения под прямым углом".