Прямая, пересекающая три скрещивающиеся прямые

[Владимир_Фомин]

Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Доказать, что существует прямая, пересекающая эти три прямые.

Пусть a, b, c – три попарно скрещивающиеся прямые. Возьмём на прямой b произвольную точку A и проведём плоскость через прямую a и точку A. Если прямая c пересекает эту плоскость в точке B и если прямая AB пересекает прямую a , то задача решена. Но прямая AB может оказаться параллельной прямой a, то есть ничего тут не доказано. Видимо, нужно использовать ещё как-то и то, что прямые a и c являются скрещивающимися.
Это почему-то вызвало у меня затруднение.

[Lion]

Насколько я понимаю, легче рассмотреть сначала множество прямых, пересекающих две из трех исходных прямых. Это вроде как однополостный гиперболоид. Затем нужно рассмотреть его пересечения с третьей прямой, тогда прямые гиперболоида, проходящие через точку пересечения, будут искомыми.

[Владимир_Фомин]

С привлечением аппарата аналитической геометрии решить эту задачу будет намного проще, на мой взгляд, и я, возможно, смог бы это сделать без посторонней помощи.
Меня интересует то, как доказать этот факт элементарными методами, как в школьном учебнике, то есть, не прибегая к написанию уравнений этих скрещивающихся прямых в декартовых координатах, не выводя уравнения поверхности, представляющей множество прямых, касающихся двух из этих скрещивающихся прямых.
Буду очень признателен, если подскажите, с чего начинать решение этой задачи методами обычной школьной геометрии.

Насколько я понимаю, нужно доказать существование такой точки, лежащей на одной из этих трёх скрещивающихся прямых, например, на прямой a, чтобы через эту точку можно было провести прямую, пересекающую две другие прямые. (А ведь задача "провести через точку прямую, пересекающую две скрещивающиеся прямые", не всегда имеет решение!).

С другой стороны, через прямую и точку, не лежащую на ней, всегда можно провести единственную плоскость.
Если одну плоскость провести через прямую b и точку A, лежащую на прямой a, а вторую плоскость провести через прямую c и ту же точку A, лежащую на прямой a, то эти две плоскости, имеющие общую точку A, пересекутся по прямой, проходящей через точку A.

Как я понимаю, остаётся доказать только, что эта линия пересечения этих двух плоскостей не будет параллельна ни прямой b, ни прямой c.
Но в общем случае это ведь не так? Это зависит от выбора точки A на прямой a

Я сам догадался, и помощь больше не нужна.

Если через прямую $a$ проходит какая-то плоскость $\alpha$, а две другие скрещивающиеся прямые $b$ и $c$ эту плоскость пересекают в точках $B$ и $C$ соответственно, то если прямая $BC$ не параллельна прямой $a$, то она пересекает прямую $a$, и утверждение доказано.
Если же прямая $BC$ параллельна прямой $a$, то можно взять другую точку $D$, лежащую на прямой $b$, провести другую плоскость $\beta$ через прямую $a$ и точку $D$, а прямая $c$ пересечёт плоскость $\beta$ в точке $E$. Прямые $BC$ и $DE$ не могут быть параллельны, так как если бы прямые $BC$ и $DE$ были параллельны, то через них можно было бы провести плоскость $\gamma$, и тогда (на основании теоремы: «Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости») скрещивающиеся прямые $BD$ и $CE$ лежали бы в одной плоскости, что невозможно.
Так как прямая $DE$ не параллельная прямой $AB$, то она не параллельна и прямой $a$, то есть пересекает прямую $a$. И утверждение доказано.

Жаль, что очень медленно я соображаю, и иногда на решение даже элементарных школьных задач по планиметрии уходит много часов.

[незваный гость]

Попробую дать своё решение.

Пусть есть прямые $a$, $b$, $c$. $a$, $b$ — скрещивающиеся, значит, существуют параллельные плоскости $\alpha$, $\beta$ в которых эти прямые лежат.

Рассмотрим произвольную точку $C$ прямой $c$, не лежащую на $\alpha$ и $\beta$. Проведем через $b$, $C$ плоскость $\zeta$. $\zeta$ пересекает $\alpha$ и пересекает $a$ в точке $A$. Тогда $AC$ — наша прямая.

Следствие: прямые, проходящие через две скрещивающиеся, заполняют всё пространство за исключением двух плоскостей.

Я думаю, Lion имел в виду, что гиперболоид образуется прямыми, проходящими через все три прямые.